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DOUBLE RÉFRACTION

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

$\varphi$ étant une fonction homogène et linéaire par rapport à $\mathrm {A,\,B,\,C}$ et à $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma ,$ mais ne dépendant pas de $x,\,y,\,z.$ Par conséquent nous aurons

${\frac {d}{dx}}{\frac {d\mathrm {W} _{2}}{d\xi '_{x}}}={\frac {2i\pi }{\lambda }}e^{\mathrm {P} }\varphi \,{\frac {d\mathrm {P} }{dx}}={\frac {2i\pi }{\lambda }}e^{\mathrm {P} }\varphi \times {\frac {2i\pi \alpha }{\lambda }},$

ou

${\frac {d}{dx}}{\frac {d\mathrm {W} _{2}}{d\xi '_{x}}}={\frac {2i\pi }{\lambda }}\alpha \,{\frac {d\mathrm {W} _{2}}{d\xi '_{x}}}\,;$

et par suite

$\sum {\frac {d}{dx}}{\frac {d\mathrm {W} _{2}}{d\xi '_{x}}}={\frac {2i\pi }{\lambda }}\sum \alpha {\frac {d\mathrm {W} _{2}}{d\xi '_{x}}}\cdot$

En remplaçant dans le second membre de cette expression la quantité placée sous le signe $\textstyle \sum$ par sa valeur (4), nous obtenons,

$\sum {\frac {d}{dx}}{\frac {d\mathrm {W} _{2}}{d\xi '_{x}}}=-{\frac {1}{2}}\left({\frac {2i\pi }{\lambda }}\right)^{2}e^{\mathrm {P} }\,{\frac {d\Pi }{d\mathrm {A} }}\,;$

c’est, au signe près, la valeur du second membre de la première des équations (1).

D’autre part, la première des égalités (2) nous donne,

${\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}=\mathrm {A} e^{\mathrm {P} }\mathrm {V} ^{2}\left({\frac {2i\pi }{\lambda }}\right)^{2}\,;$

par conséquent la première des équations du mouvement conduit à l’équation,

$\mathrm {A} e^{\mathrm {P} }\mathrm {V} ^{2}\left({\frac {2i\pi }{\lambda }}\right)^{2}={\frac {1}{2}}\left({\frac {2i\pi }{\lambda }}\right)^{2}e^{\mathrm {P} }{\frac {d\Pi }{d\mathrm {A} }},$

ou,

$\mathrm {AV} ^{2}={\frac {1}{2}}{\frac {d\Pi }{d\mathrm {A} }}\cdot$

Les deux autres équations du mouvement nous donneraient des équations analogues ; par suite les équations (1) peuvent