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DOUBLE RÉFRACTION
étant une fonction homogène et linéaire par rapport à
et à
mais ne dépendant pas de
Par conséquent
nous aurons
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}{\frac {d\mathrm {W} _{2}}{d\xi '_{x}}}={\frac {2i\pi }{\lambda }}e^{\mathrm {P} }\varphi \,{\frac {d\mathrm {P} }{dx}}={\frac {2i\pi }{\lambda }}e^{\mathrm {P} }\varphi \times {\frac {2i\pi \alpha }{\lambda }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7e01c2ca711f83bcbb35876dfa4c03af84d26ec)
ou
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}{\frac {d\mathrm {W} _{2}}{d\xi '_{x}}}={\frac {2i\pi }{\lambda }}\alpha \,{\frac {d\mathrm {W} _{2}}{d\xi '_{x}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83374906585134b4c55a998d6c2eddbe4a71ba22)
et par suite
![{\displaystyle \sum {\frac {d}{dx}}{\frac {d\mathrm {W} _{2}}{d\xi '_{x}}}={\frac {2i\pi }{\lambda }}\sum \alpha {\frac {d\mathrm {W} _{2}}{d\xi '_{x}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3010cd3a9297d7acdcc9bde7c1f161f25d07d3d2)
En remplaçant dans le second membre de cette expression
la quantité placée sous le signe
par sa valeur (4), nous
obtenons,
![{\displaystyle \sum {\frac {d}{dx}}{\frac {d\mathrm {W} _{2}}{d\xi '_{x}}}=-{\frac {1}{2}}\left({\frac {2i\pi }{\lambda }}\right)^{2}e^{\mathrm {P} }\,{\frac {d\Pi }{d\mathrm {A} }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72366edaa9c9c018b8dc333f98a9bddc799d00ef)
c’est, au signe près, la valeur du second membre de la première
des équations (1).
D’autre part, la première des égalités (2) nous donne,
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}=\mathrm {A} e^{\mathrm {P} }\mathrm {V} ^{2}\left({\frac {2i\pi }{\lambda }}\right)^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be862ce9b98011d25fc47a184f64ceab48e4d2c5)
par conséquent la première des équations du mouvement
conduit à l’équation,
![{\displaystyle \mathrm {A} e^{\mathrm {P} }\mathrm {V} ^{2}\left({\frac {2i\pi }{\lambda }}\right)^{2}={\frac {1}{2}}\left({\frac {2i\pi }{\lambda }}\right)^{2}e^{\mathrm {P} }{\frac {d\Pi }{d\mathrm {A} }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb06ca70896293d47ffe39fb156f3bb5d6a88355)
ou,
![{\displaystyle \mathrm {AV} ^{2}={\frac {1}{2}}{\frac {d\Pi }{d\mathrm {A} }}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e216ed5b6b04a89c9af17e28f5e41e1a8bae846)
Les deux autres équations du mouvement nous donneraient
des équations analogues ; par suite les équations (1) peuvent