Page:Henri Poincaré - Théorie mathématique de la lumière, Tome 1, 1889.djvu/226

212

THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE

thèse la plus simple que l’on puisse faire sur la nature de ces forces élastiques, est qu’elles sont proportionnelles à la différence $\xi _{1}-\xi$ des déplacements de la matière et de l’éther. En désignant par $\mathrm {M}$ le facteur de proportionnalité, la première des équations du mouvement de l’éther peut s’écrire

$\rho \,{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}=\Delta \xi -{\frac {d\Theta }{dx}}+\mathrm {M} (\xi _{1}-\xi ).$

Dans le cas d’une onde plane, elle devient

$\rho \,{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}={\frac {d^{2}\xi }{dz^{2}}}+\mathrm {M} (\xi _{1}-\xi ).$

Si on cherche à satisfaire à cette équation en posant

${\begin{aligned}\xi \,&=\mathrm {A} \,e^{i\alpha (z-\mathrm {V} t)},\\[1.5ex]\xi _{1}&=\mathrm {B} \,e^{i\alpha (z-\mathrm {V} t)},\\\end{aligned}}$

$\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ étant des constantes et $\alpha$ ayant pour valeur ${\frac {2\pi }{\lambda }},$ on obtient pour résultat de la substitution

(5)

$-\rho \alpha ^{2}\mathrm {AV} ^{2}=-\alpha ^{2}\mathrm {A} +\mathrm {M} (\mathrm {B} -\mathrm {A} ).$

L’équation qui donne le mouvement de la molécule matérielle est,

$\rho _{1}\,{\frac {d^{2}\xi _{1}}{dt^{2}}}=\mathrm {M} (\xi -\xi _{1}).$

En y substituant la valeur prise précédemment pour $\xi _{1},$ on a,

(6)

$-\rho _{1}\alpha ^{2}\mathrm {BV} ^{2}=\mathrm {M} (\mathrm {A} -\mathrm {B} ).$

Éliminons $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ entre les équations (5) et (6) pour avoir la vitesse en fonction de $\alpha .$ Pour cela mettons ces équations