Page:Henri Poincaré - Théorie mathématique de la lumière, Tome 1, 1889.djvu/221

207

POLARISATION ROTATOIRE. — DISPERSION

tion périodique, ne diffère d’une telle fonction que par la valeur des coefficients qui entrent sous les signes sinus et cosinus du développement en série trigonométrique. Comme il en est de même de $\rho ,$ il faut donc que la valeur moyenne de ${\frac {dv_{2}}{dz}}$ soit nulle. En désignant par $-a$ la racine négative de la valeur moyenne de $\rho ,$ nous aurons une des valeurs de $v_{1}\,:$ $v_{1}=-ia.$ Cette même équation (3) nous montre que la valeur moyenne de $v_{2}$ est une quantité réelle. En considérant les unes après les autres les diverses équations on verrait que les coefficients impairs comme $v_{1},v_{3},\dots$ sont purement imaginaires et que les coefficients pairs, $v_{2},v_{4},\dots$ sont réels. Nous allons montrer que ces derniers sont nuls.

L’homogénéité exige que dans les milieux amorphes les molécules matérielles soient disposées de la même manière par rapport à chacune d’elles. Chaque molécule est donc un centre de symétrie et si nous prenons un de ces points pour origine des axes, $\rho$ est une fonction paire, c’est-à-dire conservant le même signe quand on change $z$ en $-z.$ Il résulte de l’équation (3) que ${\frac {dv_{2}}{dz}}$ est une fonction paire ; par conséquent $v_{2}$ est une fonction impaire. Les équations suivantes montrent que $v_{3}$ est paire et $v_{4}$ impaire. Les coefficients $v_{2},$ $v_{4},$ $v_{6}$ sont donc des fonctions impaires dont la valeur moyenne est nulle.

La valeur de moyenne $v_{3}$ sera donnée par l’équation (5). C’est, comme nous l’avons dit, une quantité purement imaginaire. Si nous la désignons par $-ib,$ nous aurons pour la valeur moyenne de $v,$ en nous arrêtant au terme en $\mu ^{4},$

$v^{0}=-ia\mu -ib\mu ^{3}.$

Par conséquent la valeur moyenne de la vitesse de propa-