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DIFFRACTION

sera

$\int _{0}^{\infty }{\frac {2\pi e^{-v^{2}w^{2}}}{{\sqrt {\pi }}\left(4w^{4}+\pi ^{2}\right)}}\,dw.$

Les éléments de chacune de ces deux dernières intégrales sont positifs et décroissent quand $v$ varie de $0$ à $\infty .$ Par conséquent les distances du point $\mathrm {A}$ à la normale et à la tangente en $\mathrm {M}$ sont toujours positives et décroissantes. Il en résulte que la distance $\mathrm {AM}$ va toujours en décroissant En effet, s’il en était autrement, cette distance présenterait un maximum ou un minimum. Au point correspondant à ce maximum ou à ce minimum, $\mathrm {AM}$ serait normal à la courbe et la distance du point $\mathrm {A}$ à la normale serait nulle, ce qui ne peut être d’après ce qui précède.

On peut voir que pour les points de la courbe voisins du point $\mathrm {A} ,$ la droite $\mathrm {AM}$ est sensiblement normale à la courbe. Pour ces points $v$ est très grand et l’exponentielle $e^{-v^{2}w^{2}}$ est très petite à moins que $w$ ne soit petit ; on pourra donc dans l’intégrale (7) négliger les éléments qui ne correspondent pas à une petite valeur de $w.$ Mais si $w$ est petit, le dénominateur $2w^{2}-i\pi$ se réduit sensiblement à $-i\pi ,$ de sorte que la valeur de $x'+iy'$ est approximativement

${\frac {2i}{\pi {\sqrt {\pi }}}}\int _{0}^{\infty }e^{-v^{2}w^{2}}\,dw={\frac {2i}{\pi {\sqrt {\pi }}}}{\frac {1}{2}}{\frac {\sqrt {\pi }}{v}}={\frac {i}{\pi v}}\cdot$

La partie réelle étant nulle, la distance du point $\mathrm {A}$ à la normale est nulle, c’est-à-dire que $\mathrm {AM}$ est sensiblement normale. La valeur de $\mathrm {AM}$ est approximativement ${\frac {1}{\pi v}}\cdot$