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THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE

Cette dernière relation nous montre que l’imaginaire $x'+iy'$ dans le nouveau système d’axes est égale à sa valeur $x_{1}+iy_{1}$ dans l’ancien, multipliée par le facteur $e^{-{\frac {i\pi v^{2}}{2}}}.$ Or, pour le point asymptotique $\mathrm {A} ,$ on a

$x_{1}+iy_{1}=\mathrm {J} ,$

par suite on aura

$x'+iy'=\mathrm {J} e^{-{\frac {i\pi v^{2}}{2}}},$

et l’égalité (6) nous montre que

(7)

$x'+iy'=\int _{0}^{\infty }{\frac {2e^{-v^{2}w^{2}}}{{\sqrt {\pi }}\left(2w^{2}-i\pi \right)}}\,dw.$

En multipliant les deux termes de la fraction placée sous le signe d’intégration par la quantité imaginaire conjuguée du dénominateur, nous obtenons

$\int _{0}^{\infty }{\frac {2\left(2w^{2}+i\pi \right)e^{-v^{2}w^{2}}}{{\sqrt {\pi }}\left(4w^{4}+\pi ^{2}\right)}}\,dw$

La distance du point $\mathrm {A}$ à la normale en $\mathrm {M}$ qui est la partie réelle de cette intégrale, aura pour expression

$\int _{0}^{\infty }{\frac {4w^{2}e^{-v^{2}w^{2}}}{{\sqrt {\pi }}\left(4w^{4}+\pi ^{2}\right)}}\,dw\,;$

et la distance à la tangente qui en est la partie imaginaire