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THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE

Par conséquent, nous aurons pour l’intégrale cherchée,

$\int _{0}^{\infty }e^{{\frac {i\pi }{2}}v^{2}}\,dv={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}{\sqrt {-{\frac {2}{i\pi }}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2i}}={\frac {1+i}{2}}\,;$

or

$\int _{0}^{v}e^{\frac {i\pi v^{2}}{2}}\,dv=x+iy,$

donc, pour $v=\infty ,$ nous avons

$x={\frac {1}{2}},\qquad \qquad y={\frac {1}{2}}\cdot$

Telles sont les coordonnées du point asymptotique $\mathrm {A} .$ On obtiendra la partie de la courbe correspondant à des valeurs négatives de $v$ par symétrie.

98. Pour mieux définir la courbe nous pouvons chercher la manière dont varie la distance $\mathrm {AM}$ du point asymptotique $\mathrm {A}$ à un point quelconque $\mathrm {M}$ de la partie de la courbe qui correspond aux valeurs positives de $v.$

Soit $v$ la valeur du paramètre qui correspond à ce point, ses coordonnées seront

$x=\int _{0}^{v}\cos {\frac {\pi v^{2}}{2}}\,dv,\qquad \qquad y=\int _{0}^{v}\sin {\frac {\pi v^{2}}{2}}\,dv.$

Transportons l’origine des axes de coordonnées au point $\mathrm {M} \,;$ l’abscisse du point asymptotique $\mathrm {A}$ par rapport à ces nou-