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THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE

l’intégrale,

(2)

$\int e^{{\frac {i\pi }{2}}\left(u^{2}+v^{2}\right)}du\,dv,$

qui se trouve en facteur dans le terme (1) et les deux qui s’en déduisent. Il nous suffira donc pour avoir l’intensité lumineuse aux divers points du plan où se font les observations, d’étudier les variations du module de cette intégrale.

96. Expression de l’intégrale (2) dans le cas d’une fente à bords parallèles. — Nous supposerons que l’un des axes auxquels correspondent les paramètres $u$ et $v$ est parallèle aux bords de la fente ; ce sera l’axe des $u,$ par exemple. Si on se reporte à la relation

$\delta =u{\sqrt {\frac {ab\lambda }{2\left(a+b\right)}}},$

qui lie le paramètre $u$ à la distance $\delta$ d’un point du plan des $uv$ à l’axe des $v,$ on voit que $u$ est de l’ordre de ${\frac {\delta }{\sqrt {\lambda }}}\cdot$ La fente ayant une longueur, sinon illimitée, du moins très grande par rapport aux quantités de l’ordre de ${\sqrt {\lambda }},$ les valeurs de $u$ seront toujours très grandes pour les points qui sont observés. Par conséquent, on peut dans l’intégrale (2) regarder les limites de $u$ comme infinies. Nous désignerons par $v_{1}$ et $v_{2}$ les limites de $v$ qui ont en général des valeurs finies, la largeur de la fente étant petite. Nous pouvons mettre cette intégrale dont les limites sont des constantes sous la forme