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DIFFRACTION

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

Mais $r$ différant très peu de $b,$ on peut remplacer $r+b$ par $2b,$ de sorte que l’on a

$r-b={\frac {a+b}{2ab}}s^{2}.$

Cette valeur de $r-b$ portée dans l’expression de $\xi _{0},$ donne

$\xi _{0}=-{\frac {i\alpha \xi _{1}e^{i\alpha b}}{2\pi b}}\int e^{i\alpha {\frac {a+b}{2ab}}s^{2}}\,d\omega .$

L’intégrale ne devant être étendue qu’aux portions de la sphère avoisinant le point $\mathrm {Q} ,$ on peut considérer ces portions comme situées dans le plan tangent à la sphère en $\mathrm {Q} .$ Prenons dans ce plan deux axes de coordonnées rectangulaires se coupant en $\mathrm {Q} .$ Dans ce système les coordonnées du point $\mathrm {M}$ seront les distances $l$ et $l'$ de ce point aux axes. Pour simplifier l’expression de $\xi _{0},$ nous définirons la position du point $\mathrm {M}$ par deux paramètres $u$ et $v$ tels que

$l=u{\sqrt {\frac {ab\lambda }{2\left(a+b\right)}}},\qquad \qquad l'=v{\sqrt {\frac {ab\lambda }{2\left(a+b\right)}}}\cdot$

On a alors,

$s^{2}=l^{2}+l'^{2}=\left(u^{2}+v^{2}\right){\frac {ab\lambda }{2\left(a+b\right)}},$

et

$d\omega =dl.dl'=du\,dv\,{\frac {ab\lambda }{2\left(a+b\right)}}\cdot$

En portant ces valeurs de $s^{2}$ et de $d\omega$ dans l’expression de $\xi _{0},$ nous aurons après simplifications,

$\xi _{0}=-{\frac {i\alpha \xi _{1}a\lambda e^{i\alpha b}}{4\pi \left(a+b\right)}}\int e^{{\frac {1}{4}}i\alpha \lambda \left(u^{2}+v^{2}\right)}\,du\,dv,$