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THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE

dans cette dernière expression, il vient :

$d\omega ={\frac {a^{2}r\,dr}{a(a+b)}}d\varphi ={\frac {a}{a+b}}r\,dr\,d\varphi .$

En portant cette valeur de $d\omega$ dans l’expression (5) de $\xi _{0},$ nous obtenons,

(7)

$\xi _{0}={\frac {a}{a+b}}\iint \mathrm {X} e^{i\alpha r}\,dr\,d\varphi ,$

l’intégration étant prise entre $b$ et $2a+b$ pour $r,$ et entre $0$ et $2\pi$ pour $\varphi .$

Toutefois nous n’étendrons l’intégration qu’à la partie de la sphère $\mathrm {S}$ non occupée par l’écran ; cela ne changera rien au résultat puisque sur l’écran, la fonction $\mathrm {X}$ est nulle. Nous aurons ainsi l’avantage que dans tout le champ d’intégration, la fonction $\mathrm {X}$ sera continue et que ses dérivées seront finies, ce qui est nécessaire pour ce qui va suivre. Dans ces conditions les limites de l’intégration par rapport à $r$ ne seront pas forcément $b$ et $2a+b.$ Nous les appellerons $r_{1}$ et $r_{2}.$

Intégrons d’abord par rapport à $r.$ En appliquant la règle de l’intégration par parties et en désignant par $r_{1}$ et $r_{2}$ les limites de la variable, nous aurons

$\int \mathrm {X} e^{i\alpha r}\,dr=\left[{\frac {\mathrm {X} e^{i\alpha r}}{i\alpha }}\right]_{r_{1}}^{r_{2}}-{\frac {1}{i\alpha }}\int {\frac {d\mathrm {X} }{dr}}e^{i\alpha r}\,dr,$

et, si nous intégrons par parties l’intégrale du second membre nous obtiendrons

$\int \mathrm {X} e^{i\alpha r}\,dr=\left[{\frac {\mathrm {X} e^{i\alpha r}}{i\alpha }}\right]_{r_{1}}^{r_{2}}+{\frac {1}{\alpha ^{2}}}\left[{\frac {d\mathrm {X} }{dr}}e^{i\alpha r}\right]_{r_{1}}^{r_{2}}-{\frac {1}{\alpha ^{2}}}\int {\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dr^{2}}}e^{i\alpha r}\,dr,$