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THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE
Comme la fonction
est quelconque, on pourra, sans diminuer la généralité de la solution particulière (9) remplacer
par une seule lettre
désignant une fonction quelconque de
En outre, puisqu’on a posé
![{\displaystyle \mathrm {F} (r)={\frac {e^{i\alpha r}}{r}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/479dce66bc8ea45c886a7d6d2035cb4c4047fe2a)
on aura pour la dérivée,
![{\displaystyle \mathrm {F} '(r)={\frac {e^{i\alpha r}}{r}}\left(i\alpha -{\frac {1}{r}}\right)\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb697cc009f152fafc7ac761bd8496750dbbd69d)
Par conséquent l’expression (9) de
peut s’écrire
(10)
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Posons encore :
![{\displaystyle \xi _{0}=\xi _{1}+\xi _{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf6c98d5ad48e611aea2dbc45fb32e6e5d35281c)
![{\displaystyle \xi _{1}=-\int {\frac {\mathrm {X} _{2}\cos \psi }{r^{2}}}\,d\omega ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c1512c267f4de5d4a2250cb3faf31d6e9788e53)
![{\displaystyle \xi _{2}=\int \mathrm {X} _{2}\cos \psi \left[{\frac {i\alpha e^{i\alpha r}}{r}}-{\frac {e^{i\alpha r}}{r^{2}}}+{\frac {1}{r^{2}}}\right]d\omega .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afdea336dd996cf15a2eec145d0faa40552b3acb)
Nous voyons que
représente le potentiel newtonien d’une double couche. Quant à la seconde intégrale
(comme la fonction sous le signe
ne devient pas infinie) elle sera continue ainsi que toutes ses dérivées.
La théorie du potentiel newtonien nous apprend que