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THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE

Comme la fonction $\mathrm {X} _{1}$ est quelconque, on pourra, sans diminuer la généralité de la solution particulière (9) remplacer $\mathrm {X} _{1}\varepsilon$ par une seule lettre $\mathrm {X} _{2}$ désignant une fonction quelconque de $x,y,z.$ En outre, puisqu’on a posé

$\mathrm {F} (r)={\frac {e^{i\alpha r}}{r}},$

on aura pour la dérivée,

$\mathrm {F} '(r)={\frac {e^{i\alpha r}}{r}}\left(i\alpha -{\frac {1}{r}}\right)\cdot$

Par conséquent l’expression (9) de $\xi _{0}$ peut s’écrire

(10)

$\xi _{0}=\int \mathrm {X} _{2}{\frac {e^{i\alpha r}}{r}}\left(i\alpha -{\frac {1}{r}}\right)\cos \psi \,d\omega .$

Posons encore :

$\xi _{0}=\xi _{1}+\xi _{2},$

$\xi _{1}=-\int {\frac {\mathrm {X} _{2}\cos \psi }{r^{2}}}\,d\omega ,$

$\xi _{2}=\int \mathrm {X} _{2}\cos \psi \left[{\frac {i\alpha e^{i\alpha r}}{r}}-{\frac {e^{i\alpha r}}{r^{2}}}+{\frac {1}{r^{2}}}\right]d\omega .$

Nous voyons que $\xi _{1}$ représente le potentiel newtonien d’une double couche. Quant à la seconde intégrale $\xi _{2}$ (comme la fonction sous le signe $\textstyle \int$ ne devient pas infinie) elle sera continue ainsi que toutes ses dérivées.

La théorie du potentiel newtonien nous apprend que ${\frac {d\xi _{1}}{dn}}$