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THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE
en désignant par
la fonction arbitraire qui entre dans la seconde solution particulière.
Cherchons l’expression de cette solution quand on se donne les valeurs initiales du déplacement et de la vitesse :
![{\displaystyle \xi _{0}=\varphi \left(x,y,z\right),\qquad \qquad \left({\frac {d\xi }{dt}}\right)_{0}\!=\psi \left(x,y,z\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66ab4e45909a2a3b1be1b4620bdb6202c786af91)
La valeur initiale de l’expression générale de
se réduit à la valeur initiale de la seconde solution particulière ; par conséquent, la relation (10) nous donne
![{\displaystyle \varphi =4\pi \mathrm {F} _{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df1b205adc6a9d440ab21487db7a9d4961415402)
La vitesse initiale de la seconde solution particulière étant nulle, nous aurons d’après la relation (9)
![{\displaystyle \psi =4\pi \mathrm {V} \mathrm {F} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac651d03814c53deb0edafad7d11040558053966)
En remplaçant, dans l’expression générale de
les fonctions
et
par leurs valeurs tirées de ces dernières relations, nous obtiendrons
![{\displaystyle \xi =\int {\frac {\psi \,d\omega }{4\pi \mathrm {V} r}}+\int {\frac {\varphi \,d\sigma }{4\pi }}+{\frac {1}{r}}\int {\frac {\Delta \varphi .d\tau }{4\pi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6352b8cbc2aa8f60015b9f9e0867459f93da6769)
ou (11)
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75. Justification du principe de Huyghens. — L’expression précédente montre que la valeur, au temps
du déplacement d’un point d’une sphère de rayon
dépend à la fois des valeurs du déplacement et de la vitesse du centre de