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88 PROBLÈME DE L'ARMILLE On voit alors que le terme général" de la série précédente est plus petit en valeur absolue que : qui"-est le terme général d'une série convergente dont le ternie général ne dépend ni de x ni de t. „'- dU ,rf2U ' ... . 4. , /. Donc— et"-7-3 sont bien représentées par la série: On en conclut aisément que la fonction U satisfait à l'équation différentielle. Reste à savoir si U se réduit à f{x) pour / = o, c'est-à- dire si, quand / tend vers zéro, U tend vers f(as). Ceci n'est pas évident, puisque nous ne savons pas si U est holo- morphe pour t= o. Appliquons le théorème d'Abc! à la série f{x), en prenant : Le reste de la série ainsi formée, qui est précisément la série U, sera tel que : etcommeon supposet^o: Or, la série Et*„ étant convergente, on peut prendre n