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DEMONSTRATION DE DIRICHLET 277 151.11 ne me reste donc plus qu'à étudier les singulari- tés que peut présenter la fonction W, définie au § 147, pour r=ety. Les conditions auxquelles doit satisfaire la fonction V n'ont pas été définies par Dirichlet avec la même précision que pour la série de Fourier ; nous supposerons dans ce qui suit que l'on puisse diviser la surface de la sphère en ré- gions R,, R2,..., R„, séparées les unes des autres par des courbes formées d'un nombre fini d'arcs analytiques ; dans chacune do ces régions la fonction Y sera finie, continue, et possédera des dérivées du premier ordre par rapport à G et <p ; mais elle pourra éprouver des variations brusques quand on passera d'une région à l'autre. Soit M un point intérieur à la sphère, à la distance r du centre. Prolongeons OM jusqu'au point de rencontre P avec la sphère. Nous prendrons, comme courbes de coordonnées sur là sphère, des petits cercles; de pôle P et des grands cercles passant parle point P et son antipode. Un point M' delà sphère sera défini par l'angle POiNT^: Y et par l'angle « du grand cercle PM'avec un grand cercle fixe pris pour origine et passant par P. Dans ces conditions, l'éléinent de surface de la sphère sera : t Reprenons la fonction U dont nous nous sommes déjà ser- vis précédemment :