270 ' REFROIDISSEMENT DE LA SPHÈRE 147. Démonstration de Dirichlet.— La démonstration que nous venons de donner n'est évidemment pas rigou- reuse; Dirichlet a, le premier, donné une démonstration satisfaisante. C'est, d'ailleurs, celle démonstration que nous allons reproduire, mais en y introduisant d'assez profondes modifications. Avant do l'aborder nous devons d'abord résoudre le problème suivant : TrouverunefonctionWder, G ety qui seréduiseà Yà la surface de la sphère, et qui à l'intérieur de la sphère satis- fasse à l'équation A\Y = o. C'est le problème de Dirichlet. Considérons sur un rayon OP (fiy. 31) deux points M et M'à des distances du centre r et r, telles que l'on ail : Soient : Y, la valeur de la fonction donnée en P, U, le poten- tiel en M ; U', Je potentiel en M', qui résulteraient d'une ma- tière de densité, V répartie sur la surface. Si on considère les composantes de l'attraction dirigées suivant le rayon vccleur, on a :
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