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AUTRE DÉMONSTRATION

Fig. 5.On démontrerait comme précédemment que la somme algébrique des flux de chaleur à travers les quatre faces est nulle aux infiniment petits du troisième ordre près.

Soient $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ les cosinus directeurs de la normale à l’élément $ABC$, dont la surface est $d\omega$. Les aires des trois autres faces seront respectivement :

$\alpha \ d\omega$, $\beta \ d\omega$, $\gamma \ d\omega$.

Appelons $dQ$ le flux de chaleur à travers l’élément $d\omega$. On aura :

$dQ=-K\ d\omega \ dt\left(\alpha {\frac {dV}{dx}}+\beta {\frac {dV}{dy}}+\gamma {\frac {dV}{dz}}\right)$.

Pour préciser le signe du flux de chaleur, nous choisirons sur la normale à l’élément $d\omega$ un sens positif, et nous donnerons au flux le signe $+$ ou le signe $-$, suivant que le mouvement de la chaleur aura lieu dans le sens positif ou dans le sens négatif. On voit facilement avec ces conventions que le flux de chaleur est :

$dQ=-K{\frac {dV}{dn}}d\omega \ dt$

${\frac {dV}{dn}}$ étant la dérivée suivant la normale, prise dans un sens convenable.

14. Autre démonstration. — Le raisonnement de Fourier que nous venons de faire peut être remplacé par un calcul plus court