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USAGE DES INVARIANTS INTÉGRAUX.

obtient ainsi une foule de relations entre les coefficients du développement des $x_{i}$ suivant les puissances des $\mathrm {A} _{i}e^{\alpha _{i}t}.$

Je me bornerai, à titre d’exemple, à envisager le premier terme et j’écrirai

$x_{i}=\mathrm {X} _{i}+\mathrm {Z} _{i}\mathrm {A} e^{\alpha t}$

$\mathrm {X} _{i}$ et $\mathrm {Z} _{i}$ étant périodiques en $t+h.$

On en déduit

$y_{i}=m_{i}\left[\mathrm {X} _{i}'+\mathrm {A} e^{\alpha t}\left(\mathrm {Z} _{i}'+\alpha \mathrm {Z} _{i}\right)\right]$

$\mathrm {X} _{i}'$ et $\mathrm {Z} _{i}'$ désignent les dérivées de $\mathrm {X} _{i}$ et $\mathrm {Z} _{i}.$

On a alors, en négligeant toujours les termes en $e^{2\alpha t},$ etc.,

${\textstyle \sum }\left(2x\,{\frac {dy}{d\mathrm {A} }}+y\,{\frac {dx}{d\mathrm {A} }}\right)={\textstyle \sum }\,me^{\alpha t}\left[2\mathrm {X} (\mathrm {Z} '+\alpha \mathrm {Z} )+\mathrm {X'Z} \right].$

On a donc

${\textstyle \sum }\,m\left(2\mathrm {XZ} '+2\alpha \mathrm {XZ} +\mathrm {X'Z} \right)=0.$

ce qui nous donne une première relation entre les coefficients $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Z} _{i}.$

La relation

${\textstyle \sum }\,\left(2x\,{\frac {dy}{dh}}+y\,{\frac {dx}{dh}}\right)=\mathrm {const.}$

nous en fournirait une autre, mais qui, en réalité, ne serait pas distincte de la première, puisqu’en la combinant avec cette première relation on trouverait une équation qui est une conséquence immédiate du principe des forces vives.