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USAGE DES INVARIANTS INTÉGRAUX.
Cette expression doit se réduire à une constante indépendante de
et, comme nous avons trois relations analogues que l’on obtient en
faisant
nous pouvons écrire
![{\displaystyle {\begin{aligned}y_{3}x_{2}-y_{2}x_{3}&=\mathrm {const.} \\y_{1}x_{3}-y_{3}x_{1}&=\mathrm {const.} \\y_{2}x_{1}-y_{1}x_{2}&=\mathrm {const.} \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b33c69d1a87d2a82893e583e114b6d8be74de54)
Mais ce n’est pas là un résultat nouveau ; ce sont les équations des
aires.
Examinons maintenant l’expression
![{\displaystyle \sum \left(2x_{i}\,{\frac {dy_{i}}{d\omega _{k}}}+y_{i}\,{\frac {dx_{i}}{d\omega _{k}}}\right)\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0458e24c2c54dbba83f22426e10b4bf21b278280)
Voyons comment les
et les
dépendent de
Les
contiennent
en facteur et les
contiennent
car on a
![{\displaystyle y_{i}=\mu \,{\frac {dx_{i}}{dt}}=\mu \,n\,{\frac {dx_{i}}{dw}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4a5b242d7d58a12af67e096bfbdf7564a35881e)
On a donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx_{i}}{da}}&={\frac {x_{i}}{a}}\,;&{\frac {dy_{i}}{da}}&={\frac {y_{i}}{a}}+{\frac {y_{i}}{n}}{\frac {dn}{da}}\cdot \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d94f10dc07aa9a112236d9fe18ac652e6403d70)
Notre expression devient donc
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\,x_{i}y_{i}\left({\frac {3}{a}}+{\frac {2}{n}}{\frac {dn}{da}}\right)\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95c0bbca14085903b1d7a15073409bdd4369736a)
Il est aisé de vérifier qu’elle est nulle ; on a en effet, d’après la
troisième loi de Képler,
![{\displaystyle n^{2}a^{3}=\mathrm {const.} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30198d27dad6e1d871233073ac230e856f459a71)
d’où
![{\displaystyle {\frac {2\,dn}{n}}+{\frac {3\,da}{a}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d32a468b01191746141a5a7a04cb86e5c6d237ea)
Nous n’obtenons pas encore ainsi un procédé nouveau de vérification.
Il reste à examiner les deux expressions
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sum \left(2x_{i}\,{\frac {dy_{i}}{dw}}+y_{i}\,{\frac {dx_{i}}{dw}}\right)&=\mathrm {W} ,\\\sum \left(2x_{i}\,{\frac {dy_{i}}{de}}+y_{i}\,{\frac {dx_{i}}{de}}\right)&=\mathrm {E} .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b09e36dce8eb30e6e0d70f841421ef6dcf63f3d)
Nous n’avons plus à faire varier que
et
nous n’aurons donc