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USAGE DES INVARIANTS INTÉGRAUX.

En considérant les dérivées partielles ${\frac {dx}{dw_{k}}}$ au Lieu des dérivées totales ${\frac {dx}{dt}}$ on arriverait à des résultats analogues. On trouverait

${\textstyle \sum }_{i}\left(x_{i}\,{\frac {dy_{i}}{dw_{k}}}+y_{i}\,{\frac {dx_{i}}{dw_{k}}}\right)=0.$

et par conséquent

${\begin{aligned}\left[{\textstyle \sum }\,x_{i}\,{\frac {dy_{i}}{dw_{k}}}\right]&=3\,{\frac {d\mathrm {C} }{dn_{k}}},\\\left[{\textstyle \sum }\,y_{i}\,{\frac {dx_{i}}{dw_{k}}}\right]&=-3\,{\frac {d\mathrm {C} }{dn_{k}}},\\\end{aligned}}$

Application au problème des deux corps.

270.Les considérations précédentes s’appliquent en particulier au problème des deux corps. Considérons une planète et le Soleil et rapportons la planète à des axes de direction fixe passant par le Soleil ; envisageons par conséquent le mouvement relatif de la planète, par rapport au Soleil.

Soient $x_{1},\,x_{2},\,x_{3}$ les trois coordonnées de la planète ; $y_{1},$ $y_{2},$ $y_{3}$ les trois composantes de la quantité de mouvement.

Soient $\xi ,\,\eta ,\,\zeta$ les trois coordonnées de la planète, rapportées à des axes particuliers, à savoir : le grand axe de l’orbite, une parallèle au petit axe et une perpendiculaire au plan de l’orbite, on aura

${\begin{aligned}x_{1}&=h_{1}\xi +h_{1}'\eta +h_{1}''\zeta ,\\x_{2}&=h_{2}\xi +h_{2}'\eta +h_{2}''\zeta ,\\x_{3}&=h_{3}\xi +h_{3}'\eta +h_{3}''\zeta ,\end{aligned}}$

les $h$ étant des constantes liées par les relations bien connues qui expriment que la transformation des coordonnées est orthogonale.

On aura de même

$y_{i}=\mu h_{i}{\frac {d\xi }{dt}}+\mu h_{i}'{\frac {d\eta }{dt}}+\mu h_{i}''{\frac {d\zeta }{dt}},$

$\mu$ étant la masse de la planète.

Maintenant il est clair que $\zeta$ est nul et que $\xi$ et $\eta$ sont des fonctions d’un seul argument $w,$ qui est l’anomalie moyenne, et de deux constantes, qui sont le grand axe $a$ et l’excentricité $e.$

D’autre part les $h$ sont des fonctions des trois angles d’Euler,