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USAGE DES INVARIANTS INTÉGRAUX.
En considérant les dérivées partielles
au Lieu des dérivées
totales
on arriverait à des résultats analogues. On trouverait
![{\displaystyle {\textstyle \sum }_{i}\left(x_{i}\,{\frac {dy_{i}}{dw_{k}}}+y_{i}\,{\frac {dx_{i}}{dw_{k}}}\right)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85341ac63f12e22983d7f60525e525b1f417c18c)
et par conséquent
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\textstyle \sum }\,x_{i}\,{\frac {dy_{i}}{dw_{k}}}\right]&=3\,{\frac {d\mathrm {C} }{dn_{k}}},\\\left[{\textstyle \sum }\,y_{i}\,{\frac {dx_{i}}{dw_{k}}}\right]&=-3\,{\frac {d\mathrm {C} }{dn_{k}}},\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b98d633c53b75c8b4fe55452b0ee906f7fd9d09)
Application au problème des deux corps.
270.Les considérations précédentes s’appliquent en particulier
au problème des deux corps. Considérons une planète et le Soleil
et rapportons la planète à des axes de direction fixe passant par le
Soleil ; envisageons par conséquent le mouvement relatif de la
planète, par rapport au Soleil.
Soient
les trois coordonnées de la planète ;
les trois composantes de la quantité de mouvement.
Soient
les trois coordonnées de la planète, rapportées à
des axes particuliers, à savoir : le grand axe de l’orbite, une
parallèle au petit axe et une perpendiculaire au plan de l’orbite,
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=h_{1}\xi +h_{1}'\eta +h_{1}''\zeta ,\\x_{2}&=h_{2}\xi +h_{2}'\eta +h_{2}''\zeta ,\\x_{3}&=h_{3}\xi +h_{3}'\eta +h_{3}''\zeta ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fba5643b0d21f156c05abd8957d3041e2b1f17f7)
les
étant des constantes liées par les relations bien connues qui
expriment que la transformation des coordonnées est orthogonale.
On aura de même
![{\displaystyle y_{i}=\mu h_{i}{\frac {d\xi }{dt}}+\mu h_{i}'{\frac {d\eta }{dt}}+\mu h_{i}''{\frac {d\zeta }{dt}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba07d7b6e7d79f70203d765896d0841a0b10e4fd)
étant la masse de la planète.
Maintenant il est clair que
est nul et que
et
sont des fonctions
d’un seul argument
qui est l’anomalie moyenne, et de
deux constantes, qui sont le grand axe
et l’excentricité
D’autre part les
sont des fonctions des trois angles d’Euler,