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USAGE DES INVARIANTS INTÉGRAUX.

L’équation (4) devient

${\begin{aligned}{\textstyle \sum }(m_{1}n_{1}+\ldots +m_{6}n_{6})&\left[-b\sin(m_{1}w_{1}+\ldots +m_{6}w_{6})\right.\\&\left.+b'\cos(m_{1}w_{1}+\ldots +m_{6}w_{6})\right]=0,\end{aligned}}$

ce qui ne peut avoir lieu que si

(6)

$m_{1}n_{1}+\ldots +m_{6}n_{6}=0,$

ou si

$b=b'=0.$

Or, les $m$ sont des entiers constants, les $n$ sont nos variables indépendantes entre lesquelles il ne peut y avoir aucune relation linéaire ; l’équation (6) entraîne donc

$m_{1}=m_{2}=\ldots =m_{6}=0.$

Cela signifie que le développement trigonométrique de $\mathrm {B} _{i}$ se réduit à son terme tout connu ; c’est-à-dire que $\mathrm {B} _{i}$ est une fonction des $n_{i}$ seulement, indépendante des $w.$

Passons maintenant à l’équation (5) ; soit

$\mathrm {A} _{i}={\textstyle \sum }\left(a\cos \omega +a'\sin \omega \right),$

en écrivant, pour abréger, $\omega$ au lieu de

$m_{1}w_{1}+\ldots +m_{6}w_{6}.$

L’équation (5) s’écrit alors

${\textstyle \sum }(m_{1}n_{1}+\ldots +m_{6}n_{6})(-a\sin \omega +a'\cos \omega )=-\mathrm {B} _{i}.$

Considérons d’abord un terme dépendant des $w,$ c’est-à-dire tel que $m_{1},$ $m_{2},\,\ldots ,$ $m_{6}$ ne s’annulent pas à la fois. On aura

$m_{1}n_{1}+\ldots +m_{6}n_{6}\gtrless 0.$

Dans le second membre $\mathrm {B} _{i}$ ne dépend pas des $w\,;$ ce second membre ne contient donc ni terme en $\cos \omega ,$ ni terme en $\sin \omega .$ Il résulte de là que

$a=a'=0.$

Donc $\mathrm {A} _{i}$ ne dépend pas des $w$ et se réduit au terme tout connu de son développement trigonométrique, terme qui dépend seulement des $n_{i}.$