intégrales des équations (2) linéaires par rapport aux et correspondant à invariants (linéaires et du premier ordre) des équations (1).
Nous pourrions définir absolument de la même manière les solutions singulières par rapport à intégrales quelconques
des équations (2) et des équations (2 bis) obtenues en remplaçant les par les
Ces intégrales devront être homogènes et de même ordre, tant par rapport aux que par rapport aux ce seront des polynômes entiers par rapport à ces variables ; mais elles ne seront pas forcément linéaires par rapport aux elles pourront donc correspondre à des invariants intégraux d’ordre supérieur, ou à des invariants intégraux du premier ordre, mais non linéaires.
De plus, ces intégrales devront être distinctes, c’est-à-dire qu’elles ne devront pas satisfaire identiquement à une relation de la forme (6), (6 bis) ou (6 ter).
Je dirai alors qu’une solution particulière S est singulière si, pour les valeurs de qui correspondent à cette solution, une relation (6) est satisfaite.
Nous aurons alors
étant un monôme formé par le produit d’un certain nombre de facteurs élevés à une puissance convenable, et les étant des fonctions algébriques des
Nous poserons d’ailleurs, comme plus haut,
et nous n’aurons rien à changer aux raisonnements qui précèdent. Nous arriverons à la même conclusion.
Toutes les solutions singulières par rapport aux intégrales satisfont à un même système de relations invariantes algébriques.
Ces résultats sont encore vrais si l’on envisage des intégrales de la forme suivante
