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CHAPITRE XXIII.
Comment cela pourra-t-il se faire ?
Soient
ces intégrales linéaires, où les seront des fonctions algébriques
des et qui correspondront à invariants intégraux
de la forme (3).
Elles sont distinctes, c’est-à-dire qu’il n’y a pas entre elles de
relations identiques de la forme
(6)
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où les coefficients sont des constantes et qu’il n’y en a pas non
plus de la forme
(6 bis)
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les étant des intégrales des équations (1).
Est-il possible alors qu’il y ait entre elles une relation de la
forme
(6 ter)
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les étant fonctions quelconques des seulement. D’après le
no 250, si une pareille relation avait lieu, les rapports des
fonctions devraient être des intégrales des équations (1).
Nous aurions donc
les étant des intégrales et par conséquent
ce qui est contraire à l’hypothèse.
Il ne peut donc pas y avoir entre les de relation identique
de la forme (6 ter).
Mais si l’on donnait aux les valeurs qui correspondent à une
solution particulière périodique ou non, il pourrait arriver que
le premier membre de (6) s’annulât identiquement. Il arriverait
alors que l’équation (6), qui n’est pas satisfaite identiquement