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FORMATION DES INVARIANTS.
CHAPITRE XXIII.
FORMATION DES INVARIANTS.
Emploi du dernier multiplicateur.
254.Il y a d’abord un invariant intégral qui se forme très aisément
quand on connaît le dernier multiplicateur des équations
différentielles.
Soient
(1)
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nos équations différentielles.
Supposons qu’il existe une fonction
de
et
telle que l’on ait identiquement
![{\displaystyle {\frac {d(\mathrm {MX} _{1})}{dx_{1}}}+{\frac {d(\mathrm {MX} _{2})}{dx_{2}}}+\ldots +{\frac {d(\mathrm {MX} _{n})}{dx_{n}}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34b4313d918791254188c8465627eea608a01fbf)
Cette fonction
est ce que l’on appelle le dernier multiplicateur.
Je dis alors que l’intégrale d’ordre
![{\displaystyle \mathrm {J} =\int \mathrm {M} \,dx_{1}\,dx_{2}\,\ldots \,dx_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/342ff44092cb6da3c7bf62d191aab4f7a1861345)
est un invariant intégral. Supposons, en effet, que l’on ait intégré
les équations (1), en exprimant
en fonctions de
et de
constantes d’intégration
![{\displaystyle \alpha _{1},\quad \alpha _{2},\quad \ldots ,\quad \alpha _{n}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f3bf87604a1ecdba7c2f9aa499c629425796248)
l’intégrale
deviendra
![{\displaystyle \mathrm {J} =\int \mathrm {M} \Delta \,d\alpha _{1}\,d\alpha _{2}\,\ldots \,d\alpha _{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3198738fa07aa4aedd7ebd0a3a907b6ed8e289f1)