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CHAPITRE XXII.
Ce procédé permet donc de trouver un invariant d’ordre
quand on en connaît un d’ordre
le procédé peut quelquefois
être illusoire parce que l’invariant ainsi trouvé peut être identiquement nul.
Envisageons maintenant un invariant de la forme suivante
![{\displaystyle \int {\textstyle \sum }\,\left(\mathrm {A} _{i}+t\mathrm {B} _{i}\right)\,dx_{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79411e814d8945321cba2debc465e600d3200420)
où
et
sont des fonctions des
nous rencontrerons dans la
suite des invariants de cette forme.
Alors
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\,\left(\mathrm {A} _{i}+t\mathrm {B} _{i}\right)\xi _{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac71d81bf5f9bd939db8634fd8f5ca9a23f97dfe)
sera une intégrale des équations (2) ; il en résulte que
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\,\left(\mathrm {A} _{i}+t\mathrm {B} _{i}\right)\mathrm {X} _{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e506b1e95079393783b32ab7c502867ec8da8353)
doit être une constante.
Soit, pour abréger.
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Phi &={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{i}\mathrm {X} _{i}\,;&\Phi _{1}&={\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{i}\mathrm {X} _{i},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d8c2369512d9186bc2f7d599568a5a937419ce8)
l’expression
![{\displaystyle \Phi +t\Phi _{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92c8ac9a8281c339ec4179da7f326f56855a60ef)
doit être une constante, ce qui entraîne la condition
![{\displaystyle {\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+t\,{\frac {\partial \Phi _{1}}{\partial t}}+\Phi _{1}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b76bd9f4e6d75391d91ee3b5ebf0c1b9671e4c2c)
ou bien
(3)
|
|
|
Les
les
les
sont des fonctions ds
Il en est donc
de même de
![{\displaystyle \Phi ,\quad \Phi _{1},\quad \sum {\frac {d\Phi }{dx_{i}}}\,\mathrm {X} _{i},\quad \sum {\frac {d\Phi _{1}}{dx_{i}}}\,\mathrm {X} _{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68ec60f60ba9cfed652f84b8ea1e26f07dcde57f)
L’identité (3) ne peut donc avoir lieu que si l’on a identiquement
![{\displaystyle \sum {\frac {d\Phi _{1}}{dx_{i}}}\,\mathrm {X} _{i}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/464c0b0329f2e8e18a51315e4f94d9e101c1b883)
et
![{\displaystyle \sum {\frac {d\Phi }{dx_{i}}}\,\mathrm {X} _{i}+\Phi _{1}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16f1bb03b71bbf57cddaa0bf1feeb411bbb7488e)