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CHAPITRE XXII.

Ce procédé permet donc de trouver un invariant d’ordre $n-1,$ quand on en connaît un d’ordre $n\,;$ le procédé peut quelquefois être illusoire parce que l’invariant ainsi trouvé peut être identiquement nul.

Envisageons maintenant un invariant de la forme suivante

$\int {\textstyle \sum }\,\left(\mathrm {A} _{i}+t\mathrm {B} _{i}\right)\,dx_{i},$

où $\mathrm {A} _{i}$ et $\mathrm {B} _{i}$ sont des fonctions des $x\,;$ nous rencontrerons dans la suite des invariants de cette forme.

Alors

${\textstyle \sum }\,\left(\mathrm {A} _{i}+t\mathrm {B} _{i}\right)\xi _{i}$

sera une intégrale des équations (2) ; il en résulte que

${\textstyle \sum }\,\left(\mathrm {A} _{i}+t\mathrm {B} _{i}\right)\mathrm {X} _{i}$

doit être une constante.

Soit, pour abréger.

${\begin{aligned}\Phi &={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{i}\mathrm {X} _{i}\,;&\Phi _{1}&={\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{i}\mathrm {X} _{i},\end{aligned}}$

l’expression

$\Phi +t\Phi _{1}$

doit être une constante, ce qui entraîne la condition

${\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+t\,{\frac {\partial \Phi _{1}}{\partial t}}+\Phi _{1}=0,$

ou bien

(3)

$\sum {\frac {d\Phi }{dx_{i}}}\,\mathrm {X} _{i}+\Phi _{1}+t\sum {\frac {d\Phi _{1}}{dx_{i}}}\,\mathrm {X} _{i}=0.$

Les $\mathrm {X} _{i},$ les $\mathrm {A} _{i},$ les $\mathrm {B} _{i}$ sont des fonctions ds $x.$ Il en est donc de même de

$\Phi ,\quad \Phi _{1},\quad \sum {\frac {d\Phi }{dx_{i}}}\,\mathrm {X} _{i},\quad \sum {\frac {d\Phi _{1}}{dx_{i}}}\,\mathrm {X} _{i}.$

L’identité (3) ne peut donc avoir lieu que si l’on a identiquement

$\sum {\frac {d\Phi _{1}}{dx_{i}}}\,\mathrm {X} _{i}=0$

et

$\sum {\frac {d\Phi }{dx_{i}}}\,\mathrm {X} _{i}+\Phi _{1}=0$