33
INVARIANTS INTÉGRAUX.
D’autre part, ces équations (2) admettront pour solution
![{\displaystyle \xi _{i}=\varepsilon \,\mathrm {X} _{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cee2af21eab4ec961c72941b77deaee7431cb7cf)
étant une constante infiniment petite quelconque.
En effet, soit
![{\displaystyle x_{i}=\varphi _{i}(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/111e611ef90227502441d4bb4069816ece40367e)
une solution quelconque des équations (1) ; si
est une constante
très petite,
![{\displaystyle x_{i}=\varphi _{i}(t+\varepsilon )=\varphi _{i}(t)+\varepsilon \,{\frac {dx_{i}}{dt}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fb742c5b9141c83705bb31ff6546952f11348da)
sera encore une solution des équations (1), et
![{\displaystyle \xi _{i}=\varphi _{i}(t+\varepsilon )-\varphi _{i}(t)=\varepsilon \,{\frac {dx_{i}}{dt}}=\varepsilon \mathrm {X} _{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4adf5c4c778e3993317e66bb2c0bcddad9e7e5b)
sera une solution des équations (2).
Il résulte de là que
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{i}\xi _{i}=\varepsilon {\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{i}\mathrm {X} _{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41c287088d7a9dc4e8bc7cc03b8b3738fa924c02)
doit être une constante.
Donc
est une intégrale des équations (1).
Supposons maintenant que les équations (1) admettent un invariant
intégral du second ordre
![{\displaystyle \iint {\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{ik}\,dx_{i}\,dx_{k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb63818632d567e794ec22f08cb3249d167e40aa)
Alors
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{ik}\left(\xi _{i}\xi _{k}'-\xi _{k}\xi _{i}'\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4af33c8521d6a081bb5ece13545dab73534b9ce4)
sera une intégrale des équations (2) et des équations (2 bis) que
l’on en déduit en changeant les
en ![{\displaystyle \xi _{i}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7ed313921bab5be0bd535a066238d5a916c847f)
Faisons-y
![{\displaystyle \xi _{i}'=\varepsilon \,\mathrm {X} _{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b09c57fff1a8f111bf42435fbd7236049d7eab39)
étant une constante. Cela est permis, car
est une
solution de (2 bis).
Alors
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{ik}\left(\xi _{i}\mathrm {X} _{k}-\mathrm {X} _{i}\xi _{k}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ca350a4af986f565fcd9f419e866290fa6d0bff)
sera une intégrale de (2) ; ce qui montre que
![{\displaystyle \int {\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{ik}\left(\mathrm {X} _{k}\,dx_{i}-\mathrm {X} _{i}\,dx_{k}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f06f190f8ef4a4e59a3bb2e1fd419ec148100a2)
est un invariant intégral du premier ordre des équations (1).