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CHAPITRE XXXIII.
fondent deux à deux, ainsi qu’il arrivait au no 403 (équation 7)
quand on négligeait
Pour trouver, en effet, les équations de ces surfaces, il suffit de
donner à
et à
les valeurs
et
il vient ainsi
![{\displaystyle {\begin{aligned}(\xi _{1}-1)\eta _{1}+(\xi _{2}-1)\eta _{2}&=r{\sqrt {\alpha ^{2}-(r-1)^{2}}},\\(\xi _{1}-1)\eta _{2}-(\xi _{2}-1)\eta _{1}&=\pm {\sqrt {2\varepsilon \psi }}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fe30dceadb92b27849e9472db2cb4c5a5e84a42)
Telles sont les équations des surfaces asymptotiques pour
on voit qu’on trouve seulement deux de ces surfaces, correspondant
au double signe du second radical.
Nous allons maintenant chercher à former les équations des
surfaces asymptotiques pour les valeurs de
voisines de 1.
On a
![{\displaystyle \mathrm {F} =\mathrm {F} _{1}+(1-\mu )(\mathrm {F} _{0}-\mathrm {F} _{1})\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffeef62956a9d03c6b872ecfa8c409941c72f04c)
et
sont des fonctions holomorphes des
et des
et, par
conséquent, de
et
Les équations de nos surfaces s’écriront
![{\displaystyle {\begin{aligned}(\xi _{1}-1)\eta _{1}+(\xi _{2}-1)\eta _{2}&=r{\frac {d\mathrm {S} }{dt}},\\[0.75ex](\xi _{1}-1)\eta _{2}-(\xi _{2}-1)\eta _{1}&={\frac {d\mathrm {S} }{d\omega }},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c02413ca026487a46499bfa2282e235f2ea36d79)
étant une fonction de
et de
satisfaisant à l’équation aux
dérivées partielles
![{\displaystyle \mathrm {F} =\mathrm {const.} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7fbed06a603032b723b6bbeb84acd2c129caf94)
où l’on a remplacé
et
par
et ![{\displaystyle {\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d\mathrm {S} }{d\omega }}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf15ca3a5acf6053794d4c3450cc4894b503735b)
Développons
suivant les puissances de
![{\displaystyle \mathrm {S} =\mathrm {S} _{0}+(1-\mu )\mathrm {S} _{1}+(1-\mu )^{2}\mathrm {S} _{2}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35f2aa03a3cfa0592f3eae3e95927efe92bc9fef)
nous aurons, en première approximation, pour les équations de