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CHAPITRE XXXIII.

fondent deux à deux, ainsi qu’il arrivait au n^o 403 (équation 7) quand on négligeait $\varepsilon .$

Pour trouver, en effet, les équations de ces surfaces, il suffit de donner à $k$ et à $h$ les valeurs $0$ et ${\frac {\alpha ^{2}}{2}}\,;$ il vient ainsi

${\begin{aligned}(\xi _{1}-1)\eta _{1}+(\xi _{2}-1)\eta _{2}&=r{\sqrt {\alpha ^{2}-(r-1)^{2}}},\\(\xi _{1}-1)\eta _{2}-(\xi _{2}-1)\eta _{1}&=\pm {\sqrt {2\varepsilon \psi }}.\end{aligned}}$

Telles sont les équations des surfaces asymptotiques pour $\mu =1\,;$ on voit qu’on trouve seulement deux de ces surfaces, correspondant au double signe du second radical.

Nous supposerons que la fonction $\varepsilon \psi$ qui s’annule pour $\omega =0$ et $\omega ={\frac {\pi }{2}}$ est positive pour toutes les autres valeurs de $\omega .$

Nous allons maintenant chercher à former les équations des surfaces asymptotiques pour les valeurs de $\mu$ voisines de 1.

On a

$\mathrm {F} =\mathrm {F} _{1}+(1-\mu )(\mathrm {F} _{0}-\mathrm {F} _{1})\,;$

$\mathrm {F} _{0}$ et $\mathrm {F} _{1}$ sont des fonctions holomorphes des $\xi$ et des $\eta$ et, par conséquent, de $r,$ $\omega ,$ ${\frac {dr}{dt}}$ et ${\frac {d\omega }{dt}}\cdot$

Les équations de nos surfaces s’écriront

${\begin{aligned}(\xi _{1}-1)\eta _{1}+(\xi _{2}-1)\eta _{2}&=r{\frac {d\mathrm {S} }{dt}},\\[0.75ex](\xi _{1}-1)\eta _{2}-(\xi _{2}-1)\eta _{1}&={\frac {d\mathrm {S} }{d\omega }},\end{aligned}}$

$\mathrm {S}$ étant une fonction de $r$ et de $\omega ,$ satisfaisant à l’équation aux dérivées partielles

$\mathrm {F} =\mathrm {const.} ,$

où l’on a remplacé ${\frac {dr}{dt}}$ et ${\frac {d\omega }{dt}}$ par ${\frac {d\mathrm {S} }{dr}}$ et ${\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d\mathrm {S} }{d\omega }}\cdot$

Développons $\mathrm {S}$ suivant les puissances de $1-\mu$

$\mathrm {S} =\mathrm {S} _{0}+(1-\mu )\mathrm {S} _{1}+(1-\mu )^{2}\mathrm {S} _{2}+\ldots ,$

nous aurons, en première approximation, pour les équations de