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CHAPITRE XXXIII.

et

${\begin{aligned}p&=\varepsilon {\frac {d}{dx}}\mathrm {partie} \;\mathrm {r{\acute {e}}elle} \left[\psi 'e^{ix}\right]\,;\\q&={\sqrt {2\mu }}\sin {\frac {y}{2}}+\varepsilon {\frac {d}{dy}}\mathrm {partie} \;\mathrm {r{\acute {e}}elle} \left[\psi 'e^{ix}\right].\end{aligned}}$

Pour trouver les solutions doublement asymptotiques, il faut chercher l’intersection de ces deux surfaces asymptotiques ; il nous suffira donc d’égaler les deux valeurs de $p$ et les deux valeurs de $q.$

Soit

${\begin{aligned}\mathrm {J} &=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{2\alpha }\,dt}{1+t^{2}}},\\[0.75ex]u&=2\log t.\end{aligned}}$

Nous trouverons

${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\mathrm {partie} \;\mathrm {r{\acute {e}}elle} \left[\mathrm {J} te^{-\alpha u+ix}\right]&=0,\\[0.75ex]{\frac {d}{dy}}\mathrm {partie} \;\mathrm {r{\acute {e}}elle} \left[\mathrm {J} te^{-\alpha u+ix}\right]&=0,\end{aligned}}$

ou, en posant $\mathrm {J} =\rho e^{i\omega },$

$x-{\frac {u}{2{\sqrt {2\mu }}}}+\omega =\mathrm {K} \pi +{\frac {\pi }{2}}$

$\mathrm {K}$ étant entier.

Telle est l’équation des solutions doublement asymptotiques.

Cette équation nous donne en réalité deux solutions distinctes, l’une correspondant aux valeurs paires, l’autre aux valeurs impaires de $\mathrm {K} .$

402. On peut s’étonner de ne trouver ainsi que deux solutions doublement asymptotiques, tandis que nous savons qu’il y en a une infinité.

Les approximations suivantes ne nous donneraient non plus qu’un nombre fini de solutions doublement asymptotiques. Quelle est l’explication de ce paradoxe ?

Nous avons vu dans les numéros précédents que les diverses solutions doublement asymptotiques en nombre infini correspondent aux diverses intersections d’un certain arc $\mathrm {A} _{0}\mathrm {H} _{0}\mathrm {C} _{0}$ avec les divers conséquents d’un autre arc $\mathrm {A} _{0}\mathrm {K} _{0}\mathrm {C} _{0}.$