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CHAPITRE XXXIII.
Soit en effet
un point appartenant à un système périodique ;
soient
et
deux courbes asymptotiques aboutissant à
ce point
l’une de la première, l’autre de la seconde famille.
Nous venons de voir comment ces courbes se coupent de façon à
déterminer des solutions doublement asymptotiques homoclines.
Soit maintenant
un point appartenant à un autre système
périodique ; soient
deux courbes asymptotiques,
de la première,
de la seconde famille.
Supposons que
coupe
en
cette intersection
correspondra à une solution doublement asymptotique hétérocline.
Mais si ces deux courbes se coupent en
elles se couperont
également en une infinité de points
conséquents de
Je précise ; je suppose par exemple que le système périodique
dont fait partie
se compose de cinq points
alors le cinquième conséquent d’un point quelconque de la
courbe
se trouvera encore sur cette courbe, et en général
si
est sur cette courbe, il en sera de même de son
ième conséquent
pourvu que
soit multiple de cinq.
Supposons de même que le système périodique dont fait
partie
se compose de sept points ; alors, si
est sur la
courbe
il en sera de même de son
ième conséquent
pourvu que
soit multiple de 7.
Si donc les deux courbes ont une intersection en
elles en
auront encore une en
pourvu que
soit multiple de 35.
Soient donc
un arc de
et
un arc
de
l’ensemble de ces deux arcs ayant mêmes extrémités
formera une courbe fermée. Sur cette courbe fermée nous pourrons
raisonner comme au no 396 ; nous verrons donc que, si les
deux arcs n’ont d’autre point commun que leurs extrémités, cette
courbe fermée n’a pas de point double et limite une aire analogue
à l’aire
des nos 395 et 396. Si les deux arcs ont d’autres
points communs que leurs extrémités, on peut trouver deux
autres arcs faisant partie des deux arcs
n’ayant d’autres points communs que leurs extrémités et limitant
une aire analogue à
Sur cette aire
on raisonnera comme aux nos 395 et 396 et
l’on verra que sur chacune des deux courbes, entre deux points