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CHAPITRE XXXIII.
Soit en effet 
un point appartenant à un système périodique ;
soient 
et 
deux courbes asymptotiques aboutissant à
ce point 
l’une de la première, l’autre de la seconde famille.
Nous venons de voir comment ces courbes se coupent de façon à
déterminer des solutions doublement asymptotiques homoclines.
Soit maintenant 
un point appartenant à un autre système
périodique ; soient 
deux courbes asymptotiques,
de la première, 
de la seconde famille.
Supposons que coupe en 
cette intersection
correspondra à une solution doublement asymptotique hétérocline.
Mais si ces deux courbes se coupent en 
elles se couperont
également en une infinité de points 
conséquents de 
Je précise ; je suppose par exemple que le système périodique
dont fait partie se compose de cinq points 
alors le cinquième conséquent d’un point quelconque de la
courbe se trouvera encore sur cette courbe, et en général
si est sur cette courbe, il en sera de même de son 
ième conséquent
pourvu que soit multiple de cinq.
Supposons de même que le système périodique dont fait
partie se compose de sept points ; alors, si est sur la
courbe il en sera de même de son ième conséquent
pourvu que soit multiple de 7.
Si donc les deux courbes ont une intersection en 
elles en
auront encore une en pourvu que soit multiple de 35.
Soient donc 
un arc de 
et 
un arc
de 
l’ensemble de ces deux arcs ayant mêmes extrémités
formera une courbe fermée. Sur cette courbe fermée nous pourrons
raisonner comme au no 396 ; nous verrons donc que, si les
deux arcs n’ont d’autre point commun que leurs extrémités, cette
courbe fermée n’a pas de point double et limite une aire analogue
à l’aire 
des nos 395 et 396. Si les deux arcs ont d’autres
points communs que leurs extrémités, on peut trouver deux
autres arcs faisant partie des deux arcs 
n’ayant d’autres points communs que leurs extrémités et limitant
une aire analogue à 
Sur cette aire on raisonnera comme aux nos 395 et 396 et
l’on verra que sur chacune des deux courbes, entre deux points
