Nous aurons ainsi dans le plan une infinité de points représentatifs des solutions doublement asymptotiques ; de chacun de ces points on peut en déduire une infinité d’autres ; si en effet le point correspond à une intersection des deux courbes, il en sera de même des points
où est entier positif ou négatif ; pour connaître tous les points représentatifs, il suffirait de connaître tous ceux qui sont compris dans la bande ou dans la bande
Une autre remarque c’est que l’ordre dans lequel se succéderont les projections de ces points représentatifs sur l’axe des n’aura aucun rapport avec l’ordre dans lequel se succéderont leurs projections sur l’axe des et voici la conséquence.
Considérons plusieurs solutions doublement asymptotiques ; pour négatif et très grand, elles seront toutes très voisines de la solution périodique et elles se présenteront dans un certain ordre, certaines d’entre elles étant plus voisines et d’autres moins voisines de la solution périodique.
Toutes ensuite s’éloigneront beaucoup de la solution périodique, puis, pour positif et très grand, elles en seront de nouveau toutes très voisines ; mais elles se présenteront alors dans un ordre entièrement différent. Si de deux solutions la première est plus voisine que la seconde de la solution périodique pour il pourra arriver que pour la première soit plus éloignée que la seconde de la solution périodique, mais il pourra arriver aussi que ce soit le contraire.
Cette remarque est encore de nature à nous faire comprendre toute la complication du problème des trois corps et combien les transcendantes qu’il faudrait imaginer pour le résoudre diffèrent de toutes celles que nous connaissons.
Solutions hétéroclines.
399. Existe-t-il des solutions hétéroclines ?
Ce que nous pouvons voir, c’est que s’il y en a une, il y en a une infinité.
