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CHAPITRE XXXIII.
de
en
et de
en
Suivant que la direction
sera à
droite ou à gauche de
le point d’intersection
sera de la
première ou de la deuxième catégorie.
Cela posé, soit
un arc de la première famille, coupé
en
et
par un arc
de la deuxième famille. À quelque
catégorie qu’appartiennent
et
l’ensemble des deux arcs
formera une courbe fermée. Si les deux arcs n’ont
pas d’autre point commun que leurs extrémités, cette courbe
fermée n’a pas de point double et limite une aire
Si les deux
arcs avaient d’autres points communs que leurs extrémités, et si
par exemple les deux arcs
se coupaient
en
on remplacerait les points
et
par les points
et
situés entre
et
et les arcs
par les
deux arcs
et
et l’on continuerait ainsi jusqu’à ce
qu’on arrive à deux arcs n’ayant d’autre point commun que leurs
extrémités.
Supposons donc que les deux arcs limitent une aire
D’après
ce que nous venons de voir, l’arc
doit couper une infinité
de fois la courbe asymptotique de la seconde famille, il faut donc
que la courbe de la seconde famille pénètre une infinité de fois à
l’intérieur de
et elle doit en sortir une infinité de fois. Elle ne
peut y pénétrer ou en sortir qu’en coupant
car elle ne
peut couper
qui fait partie aussi de la courbe de la
seconde famille. Or, il est clair que les points par où elle pénétrera
dans l’aire et ceux par où elle en sortira ne seront pas de la
même catégorie.
Donc entre deux points quelconques d’intersection des deux
courbes, il y en a une infinité d’autres appartenant à la première
catégorie et une infinité d’autres appartenant à la
deuxième catégorie.
Désignons par
les points de rencontre successifs
de la courbe de La seconde famille et de l’arc
comptés dans l’ordre où on les rencontre en suivant la courbe de
la seconde famille dans le sens positif. Ils seront alternativement
des deux catégories. Étudions l’ordre dans lequel on les rencontre
en suivant l’arc