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SOLUTIONS DOUBLEMENT ASYMPTOTIQUES.
opposés
et
doivent se couper. Soit
l’un des points
d’intersection de ces deux arcs. Remarquons que le point
a été
choisi arbitrairement sur la courbe asymptotique
si l’on met
le point
au point
lui-même, ce point
se trouvera aussi
sur la courbe
et coïncidera avec le point
Si les deux
points
et
coïncident, il en sera de même de leurs cinquièmes
conséquents
et
Le quadrilatère
se réduira donc à la figure formée
par deux arcs de courbe ayant mêmes extrémités. Cette figure ne
peut être convexe puisque l’invariant intégral étendu au quadrilatère
doit être nul. Il faut donc que les deux arcs
et
aient d’autres points communs que leurs extrémités.
Il y aura donc au moins deux points d’intersection distincts
(en ne regardant pas comme distincts un point et un quelconque
de ses conséquents).
Il y aura donc toujours au moins deux solutions doublement
asymptotiques.
Supposons donc que les points
et
coïncident et prolongeons
les arcs
et
jusqu’à leur premier point de rencontre
en
Nous aurons ainsi déterminé une aire qui cette fois
sera convexe (au point de vue de l’Analysis situs) et qui sera
limitée par deux arcs faisant partie respectivement des deux arcs
et
et ayant mêmes extrémités, à savoir
et
Soit
cette aire et
sa
ième conséquente ; l’aire
sera évidemment
comme
convexe et limitée par deux arcs de courbe,
l’un de la première, l’autre de la deuxième famille.
L’intégrale
aura même valeur pour
et
Soit
cette valeur.
Comme la valeur
de l’invariant intégral pour le demi-plan
entier est finie, on verrait, en raisonnant comme au no 291, que, si
![{\displaystyle n>p\,{\frac {\mathrm {J} _{0}}{j}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42ea02974f85c0d9c19eb872f24def3af6ff76ef)
l’aire
aura une partie commune au moins avec
des aires
![{\displaystyle \alpha _{1},\,\alpha _{2},\,\ldots ,\,\alpha _{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17f79a255c6bc6a3da80e54f72e8f788cb463226)
et comme
ne peut être pris aussi grand que l’on veut, je puis
énoncer le résultat suivant :
Parmi les aires
il y en a une infinité qui ont une partie
commune avec