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SOLUTIONS DOUBLEMENT ASYMPTOTIQUES.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

Nous n’aurons plus alors qu’à supposer que, pour $x_{1}'=x_{1}^{0},$ la fonction $\mu \,\mathrm {S} _{1}$ se réduise à

(2)

$\alpha -\mathrm {B} \xi _{2}'+\mathrm {A} \eta _{2}.$

Cela suffira pour que les équations de la solution périodique se réduisent avec les nouvelles variables à

${\begin{aligned}\xi _{2}'&=\eta _{2}'=0,&x_{1}'=x_{1}^{0}.\end{aligned}}$

Il est évidemment possible de trouver une fonction $\mu \,\mathrm {S} _{1}$ qui soit développable suivant les puissances de ${\sqrt {2x_{1}'}}{\begin{array}{c}\cos \\\sin \end{array}}y_{1}$ et divisible par par $x_{1}'$ et qui, en même temps, se réduise à l’expression (2) pour $x_{1}'=x_{1}^{0}.$

Adoptons les variables nouvelles $x_{1}',\,y_{1}',\,x_{2}',\,y_{2}'$ .

La fonction $\mathrm {F} ',$ qui était holomorphe par rapport à ${\sqrt {2x_{1}}}{\begin{array}{c}\cos \\\sin \end{array}}y_{1},$ ${\sqrt {2x_{2}}}{\begin{array}{c}\cos \\\sin \end{array}}y_{2},$ sera de même holomorphe par rapport à ${\sqrt {2x_{1}'}}{\begin{array}{c}\cos \\\sin \end{array}}y_{1}',$ ${\sqrt {2x_{2}'}}{\begin{array}{c}\cos \\\sin \end{array}}y_{2}'.$ D’autre part, comme une des solutions des équations différentielles est

${\begin{aligned}\xi _{2}'&=\eta _{2}'=0,&x_{1}'=x_{1}^{0},\end{aligned}}$

on devra avoir pour $\xi _{2}'=\eta _{2}'=0,\;x_{1}'=x_{1}^{0},$ les relations suivantes

(3)

${\frac {d\mathrm {F} '}{d\xi _{2}'}}={\frac {d\mathrm {F} '}{d\eta _{2}'}}={\frac {d\mathrm {F} '}{dy_{1}'}}=0.$

Pour les petites valeurs de $\xi _{2}'$ et $\eta _{2}',$ $\mathrm {F} '$ est développable suivant les puissances de $\xi _{2}'$ et $\eta _{2}'.$ En vertu des relations (3), pour $x_{1}'=x_{1}^{0},$ les termes du premier degré de ce développement disparaissent et les termes de degré zéro se réduisent à une constante indépendante de $\mu .$

Cette constante ne peut d’ailleurs être autre chose que la constante des forces vives $\mathrm {C} \,;$ de sorte que les conditions $\xi _{2}'=\eta _{2}'=0,$ $x_{1}'=x_{1}^{0}$ peuvent être remplacées par les suivantes

${\begin{aligned}\xi _{2}'&=\eta _{2}'=0,&\mathrm {F} '=\mathrm {C} .\end{aligned}}$

Ainsi, pour $\mathrm {F} '=\mathrm {C} ,$ les termes du premier degré en $\xi _{2}'$ et $\eta _{2}'$ disparaissent dans le développement $de$ $\mathrm {F} '.$

La difficulté provenait de ce que $\mathrm {F} '$ et $\mathrm {F} _{1}$ contenaient des termes