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SOLUTIONS DOUBLEMENT ASYMPTOTIQUES.
Nous n’aurons plus alors qu’à supposer que, pour
la
fonction
se réduise à
(2)
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Cela suffira pour que les équations de la solution périodique se
réduisent avec les nouvelles variables à
![{\displaystyle {\begin{aligned}\xi _{2}'&=\eta _{2}'=0,&x_{1}'=x_{1}^{0}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbeb370a747a0f117aecb6bc71d68bfb519a6696)
Il est évidemment possible de trouver une fonction
qui soit
développable suivant les puissances de
et divisible par
par
et qui, en même temps, se réduise à l’expression (2)
pour
Adoptons les variables nouvelles
.
La fonction
qui était holomorphe par rapport à
sera de même holomorphe par rapport à
D’autre part, comme une des solutions des équations
différentielles est
![{\displaystyle {\begin{aligned}\xi _{2}'&=\eta _{2}'=0,&x_{1}'=x_{1}^{0},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7183f5e42ebd0407e00fc04888ece222695205fe)
on devra avoir pour
les relations suivantes
(3)
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Pour les petites valeurs de
et
est développable suivant
les puissances de
et
En vertu des relations (3), pour
les termes du premier degré de ce développement disparaissent et
les termes de degré zéro se réduisent à une constante indépendante de
Cette constante ne peut d’ailleurs être autre chose que la constante
des forces vives
de sorte que les conditions
peuvent être remplacées par les suivantes
![{\displaystyle {\begin{aligned}\xi _{2}'&=\eta _{2}'=0,&\mathrm {F} '=\mathrm {C} .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59597fc549cdc44d5a2dcfa950f53779882d3965)
Ainsi, pour
les termes du premier degré en
et
disparaissent
dans le développement
![{\displaystyle \mathrm {F} '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a02b8fd19da49d006ada9518bef0692eb3ab4593)
La difficulté provenait de ce que
et
contenaient des termes