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CHAPITRE XXXII.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

pour l’orbite à chocs envisagée et par conséquent pour $\mu =0\,;$ soient $x_{i}^{1},$ les valeurs de ces variables à l’instant $t_{1}$ pour cette même orbite à chocs, $x_{i}^{2}$ leurs valeurs à l’instant $t_{2}$ et $x_{i}^{3}$ leurs valeurs à l’instant $t_{0}+\mathrm {T} .$ On aura

$x_{i}^{3}=x_{i}^{0}+2m_{i}\pi$

$m_{i}$ étant un entier qui devra être nul en ce qui concerne les grands axes, les excentricités et les inclinaisons.

Considérons maintenant une orbite peu différente de l’orbite à chocs, et donnons à $\mu$ une valeur très petite quoique différente de zéro. Dans cette nouvelle orbite, nos variables prendront les valeurs $x_{i}^{0}+\beta _{i}^{0}$ à l’instant $t_{0},$ $x_{i}^{1}+\beta _{i}^{1}$ à l’instant $t_{1},$ $x_{i}^{2}+\beta _{i}^{2}$ à l’instant $t_{2},$ et enfin $x_{i}^{3}+\beta _{i}^{3}$ à l’instant $t_{0}+\mathrm {T} +\tau .$

La condition pour que la solution soit périodique de période $\mathrm {T} +\tau$ c’est

$\beta _{i}^{3}=\beta _{i}^{0}.$

Pour qu’en supposant $\mu =0$ un choc se produise entre l’instant $t_{0}$ et l’instant $t_{1},$ les variables $\beta _{i}^{0}$ doivent satisfaire à deux conditions.

Soient

$f_{1}(\beta _{i}^{0})=f_{2}(\beta _{i}^{0})=0$

ces deux conditions.

Posons

${\begin{aligned}f_{1}(\beta _{i}^{0})&=\gamma _{1}^{0}\mu ,&f_{2}(\beta _{i}^{0})&=\gamma _{2}^{0}\mu \,;&\beta _{k}^{0}&=\gamma _{k}^{0}\quad (k=3,\,4,\,\ldots ,\,11)\,;\end{aligned}}$

on voit que les $\beta _{i}^{0}$ sont des fonctions holomorphes des $\gamma _{i}^{0}$ et de $\mu \,;$ en appliquant les principes du Chapitre II on démontrerait qu’il en est de même des $\beta _{i}^{1}.$

Pour qu’il y ait un choc entre les instants $t_{1}$ et $t_{2}$ (en supposant $\mu =0$) il faut deux conditions que j’écris

(1)

$f_{1}'(\beta _{i}^{1})=f_{2}'(\beta _{i}^{1})=0.$

Remplaçant dans les relations (1) les $\beta _{i}^{1}$ par leurs valeurs en fonction des $\gamma _{i}^{0}$ et de $\mu$ et faisant ensuite $\mu =0,$ je trouve

$\theta _{1}(\gamma _{i}^{0})=\theta _{2}(\gamma _{i}^{0})=0.$

Posons alors

${\begin{aligned}\theta _{1}(\gamma _{i}^{0})&=\gamma _{1}^{1}\mu ,&\theta _{2}(\gamma _{i}^{0})&=\gamma _{2}^{1}\mu \,;&\beta _{k}^{1}&=\gamma _{k}^{1}\quad (k=3,\,\ldots ,\,11)\,;\end{aligned}}$