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CHAPITRE XXII.

On pourra donc en déduire un invariant d’ordre $p+q$ des équations (1).

Si $p=q$ et que $\mathrm {F} _{1}$ soit identique avec $\mathrm {F} _{2},$ l’invariant ainsi obtenu sera identiquement nul si $p$ est impair ; mais il n’en sera plus de même si $p$ est pair ainsi que je l’ai expliqué à la fin du numéro précédent.

Autres relations entre les invariants et les intégrales.

249.Voyons maintenant comment, de la connaissance d’un certain nombre d’invariants, on peut déduire celle d’une ou plusieurs intégrales.

Je suppose d’abord que l’on connaisse deux invariants du $n$^ième ordre

$\int \mathrm {M} \,dx_{1}\,dx_{2}\,\ldots \,dx_{n},$

et

$\int \mathrm {M} '\,dx_{1}\,dx_{2}\,\ldots \,dx_{n},$

où $\mathrm {M}$ et $\mathrm {M} '$ sont des fonctions des $x\,;$ je dis que le rapport ${\frac {\mathrm {M} '}{\mathrm {M} \,}}$ sera une intégrale des équations (1).

En effet, considérons les équations aux variations (2) et soient

$\xi _{i}^{(1)},\quad \xi _{i}^{(2)},\quad \ldots ,\quad \xi _{i}^{(n)}.$

$n$ solutions quelconques linéairement indépendantes de ces équations.

Ces $n$ solutions satisferont à un système d’équations différentielles, analogue aux systèmes (6) et (7), que j’appellerai le système $\mathrm {S} .$

Soit $\Delta$ le déterminant formé à l’aide des $n^{2}$ lettres $\xi _{i}^{(k)}.$ Alors

$\mathrm {M} \Delta$ et $\mathrm {M} '\Delta$

seront des intégrales du système $\mathrm {S} ;$ il en sera donc de même du rapport

${\frac {\mathrm {M} '}{\mathrm {M\,} }}$

et comme ce rapport ne dépend que des $x$ et pas des $\xi ,$ il devra être une intégrale des équations (1).