Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 3, 1899.djvu/374

362

CHAPITRE XXXII.

---

CHAPITRE XXXII.

SOLUTIONS PÉRIODIQUES DE DEUXIÈME ESPÈCE.

---

385.Reprenons les équations du n^o 13,

(1)

${\begin{aligned}{\frac {dx_{i}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}},&{\frac {dy_{i}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}},&\mathrm {F} =\mathrm {F} _{0}+\mu \,\mathrm {F} _{1}+\ldots \end{aligned}}$

avec $p$ degrés de liberté. D’après ce que nous avons vu au n^o 42, ces équations admettront des solutions périodiques telles que, quand $t$ augmente de la période $\mathrm {T} ,$ les variables $y_{1},$ $y_{2},\,\ldots ,$ $y_{p}$ augmentent respectivement de

$2k_{1}\pi ,\quad 2k_{2}\pi ,\quad \ldots ,\quad 2k_{p}\pi .$

Les entiers $k_{1},\,k_{2},\,\ldots ,\,k_{p}$ peuvent être quelconques.

Mais cela n’est vrai que si le hessien de $\mathrm {F} _{0}$ par rapport aux $x$ n’est pas nul. La démonstration du n^o 42 est en défaut, quand-ce hessien est nul, et en particulier quand $\mathrm {F} _{0}$ ne dépend pas de toutes les variables $x.$

Or, c’est précisément ce qui arrive dans le problème des trois corps. Je rappelle que $y_{1},\,y_{2}\,;$ $y_{3},\,y_{4}\,;$ $y_{5},\,y_{6}$ représentent alors respectivement les longitudes moyennes des planètes, celles des périhélies et celles des nœuds, et que $\mathrm {F} _{0}$ dépend seulement des deux premières variables $x_{1}$ et $x_{2}$ qui sont proportionnelles aux racines carrées des grands axes.

Considérons alors une solution périodique ; d’après les conventions faites, une solution sera regardée comme périodique pourvu que les différences des $y$ augmentent de multiples de $2\pi ,$ quand $t$ augmente d’une période, et en effet $\mathrm {F}$ ne dépend que de ces différences.

Soient donc

$2k_{1}\pi ,\quad 2k_{2}\pi ,\quad 2k_{3}\pi ,\quad 2k_{4}\pi ,\quad 2k_{5}\pi$