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PROPRIÉTÉS DES SOLUTIONS DU DEUXIÈME GENRE.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

Ce maximum correspond à un point double situé sur la droite $\omega =0,$ ou plutôt à deux points doubles symétriques par rapport à l’origine.

Mais il nous faut chercher combien nous trouvons de ces points doubles pour une valeur donnée de la constante $\mathrm {C} \,;$ l’équation (5) nous donne $x_{1}$ en fonction de $k\,;$ il faut en déduire $x_{1}$ en fonction de $\mathrm {C} .$

Or les équations (4) et (5) peuvent s’écrire

${\begin{aligned}\mathrm {F} '&=\mathrm {C} ,&{\frac {d\mathrm {F} '}{dx_{1}}}&=0\end{aligned}}$

d’où

${\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {C} }{dx_{1}}}={\frac {d\mathrm {F} '}{dx_{1}}}+{\frac {d\mathrm {F} '}{dk}}{\frac {dk}{dx_{1}}}&={\frac {d\mathrm {F} '}{dk}}{\frac {dk}{dx_{1}}},\\[0.75ex]{\frac {d^{2}\mathrm {F} '}{dx_{1}^{2}}}+{\frac {d^{2}\mathrm {F} '}{dk\,dx_{1}}}{\frac {dk}{dx_{1}}}&=0.\end{aligned}}$

Or on a, en négligeant les termes en $\mu ,$

${\frac {d\mathrm {F} '}{dk}}+{\frac {d\mathrm {F} '}{dx_{1}}}=-1$

d’où

${\frac {d\mathrm {F} '}{dk}}=-1,$

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}\mathrm {F} '}{dk\,dx_{1}}}+{\frac {d^{2}\mathrm {F} '}{dx_{1}^{2}}}&=0\,;&{\frac {d^{2}\mathrm {F} '}{dx_{1}^{2}}}&={\frac {12}{(k-x_{1})^{4}}}=12\left({\frac {3}{8}}\right)^{\frac {4}{3}}\cdot \end{aligned}}$

d’où

${\begin{aligned}{\frac {dk}{dx_{1}}}&=1\,;&{\frac {d\mathrm {C} }{dx_{1}}}&=-1,\end{aligned}}$

d’où il résulte que $x_{1}$ est une fonction constamment décroissante de $\mathrm {C} .$

Donc pour une valeur de $\mathrm {C} ,$ nous avons seulement au plus un maximum, c’est-à-dire que nous avons au plus deux points doubles symétriques l’un de l’autre par rapport à l’origine sur la droite $\omega =0.$

Soit donc $\mathrm {C} _{0}$ la valeur de $\mathrm {C}$ qui satisfait à la double égalité

${\begin{aligned}\mathrm {C} _{0}&={\frac {2}{k^{2}}}+{\frac {k}{2}}+\mu \alpha ,\\{\frac {4}{k^{3}}}-&{\frac {3}{2}}+\mu (\beta +\gamma )=0\,;\end{aligned}}$