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CHAPITRE XXXI.
la courbe
passe par l’origine et y présente un point double.
Les tangentes au point double sont données par l’équation
![{\displaystyle {\frac {4}{k^{3}}}-{\frac {3}{2}}+\mu \beta +\mu \gamma \cos \omega =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdf6689f3e7565e9adc199150fe2f297e63bd7be)
Si donc
(1)
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les tangentes sont imaginaires. Si
(2)
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les tangentes sont réelles. Si enfin
(3)
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les tangentes sont de nouveau imaginaires.
Le coefficient
est positif ; j’ai écrit les inégalités précédentes
en supposant aussi
positif. Si
était négatif, on n’aurait
d’ailleurs qu’à changer
en
Le point double à l’origine correspond à la solution de la première
sorte, c’est-à-dire à la planète
de M. Darwin. On voit que
cette solution est stable quand les inégalités (1) ou (3) ont lieu et
instable quand les inégalités (2) ont lieu.
Étudions maintenant les points doubles qui peuvent se trouver
sur la droite
Si l’on fait
la fonction
devient
(4)
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Si, laissant
constant, on fait varier
depuis
jusqu’à
on
voit que les maxima et minima de
sont donnés par l’équation
(5)
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laquelle admet une solution si l’inégalité (3) a lieu et n’en admet
pas dans le cas contraire.
Si donc l’inégalité (3) n’a pas lieu, la fonction
est constamment
décroissante si elle a lieu ; la fonction
d’abord croissante
atteint un maximum et décroît ensuite.