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INVARIANTS INTÉGRAUX.

Soit de même $\mathrm {F} _{2}'$ ce que devient $\mathrm {F} _{2}$ quand on y remplace chaque produit de $q$ différentielles par le déterminant correspondant formé à l’aide des $q$ solutions

$\xi _{i}^{(p+1)},\quad \xi _{i}^{(p+2)},\quad \ldots ,\quad \xi _{i}^{(p+q)}.$

Alors le produit

$\mathrm {F} _{1}'\mathrm {F} _{2}'$

sera une intégrale du système (13).

Cela posé, faisons subir aux $p+q$ lettres

$\xi _{i}^{(1)},\quad \xi _{i}^{(2)},\quad \ldots ,\quad \xi _{i}^{(p+q)}.$

une permutation quelconque. Le produit $\mathrm {F} _{1}'\mathrm {F} _{2}'$ deviendra

$\mathrm {F} _{1}''\mathrm {F} _{2}''$

et ce sera encore là une intégrale du système (13).

Nous affecterons ce produit du signe $+,$ si la permutation considérée appartient au groupe alterné, c’est-à-dire si elle se ramène à un nombre pair de permutations entre deux lettres.

Nous affecterons, au contraire, le produit du signe $-,$ si la permutation n’appartient pas au groupe alterné, c’est-à-dire si elle se ramène à un nombre impair de permutations entre deux lettres.

Dans tous les cas, l’expression

(14)

$\pm \mathrm {F} _{1}''\mathrm {F} _{2}''$

sera une intégrale du système (13).

Nous avons $(p+q)!$ permutations possibles ; nous obtiendrons donc $(p+q)!$ expressions analogues à (14). Mais il n’y en aura que

${\frac {(p+q)!}{p!\,q!}}$

qui seront distinctes ; car l’expression (14) ne change pas quand on permute seulement entre elles les $p$ lettres qui entrent dans $\mathrm {F} _{1}''$ et entre elles, d’autre part, les $q$ lettres qui entrent dans $\mathrm {F} _{2}''.$

Faisons maintenant la somme de toutes les expressions (14). Nous aurons encore une intégrale de système (13). Mais cette intégrale sera linéaire et homogène par rapport aux déterminants d’ordre $p+q$ que l’on peut former avec les lettres

$\xi _{i}^{(1)},\quad \xi _{i}^{(2)},\quad \ldots ,\quad \xi _{i}^{(p+q)}.$