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CHAPITRE XXXI.

Les satellites $\mathrm {A}$ stables ont pour orbites des courbes fermées ordinaires ; les satellites $\mathrm {A}$ instables ont des orbites en forme de huit.

Comment aurait-on pu passer d’un cas à l’autre ? Ce ne peut être que par une courbe présentant un point de rebroussement ; mais au point de rebroussement la vitesse devrait être nulle, et, par raison de symétrie, ce point de rebroussement ne pourrait se trouver que sur l’axe des $x\,;$ il ne peut être entre le Soleil et Jupiter. En effet, dans la fig. 1, Darwin donne les courbes de vitesse nulle ; pour C>40,18, ces courbes coupent l’axe des $x$ entre le Soleil et Jupiter ; mais cela n’a plus lieu pour C<40,18 et le passage a lieu entre C=40 et C=39,5.

Il reste l’hypothèse que le point de rebroussement se trouve au delà de Jupiter ; mais celle-là non plus n’est pas satisfaisante. Comparons les deux orbites correspondant à C=40 et à C=39,5 ; la première coupe deux fois l’axe des $x$ à angle droit, une fois au delà de Jupiter, une fois en deçà ; soient $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q}$ les deux points d’intersection ; de même, la seconde orbite, si on laisse de côté le point double, coupe deux fois l’axe des $x$ à angle droit, une fois au delà et une fois en deçà de Jupiter ; soient $\mathrm {P} '$ et $\mathrm {Q} '$ les deux points d’intersection. Considérons le point d’intersection $\mathrm {P}$ ou $\mathrm {P} '$ qui est au delà de Jupiter et voyons le signe de ${\frac {dy}{dt}}\,;$ nous verrons que pour une orbite comme pour l’autre ce signe est positif. Or ${\frac {dy}{dt}}$ aurait dû changer de signe au moment du passage par le point de rebroussement.

Le point $\mathrm {P} ,$ le point de rebroussement hypothétique, et le point $\mathrm {P} '$ ne peuvent donc pas être regardés comme la continuation analytique l’un de l’autre. Il faudrait alors supposer qu’à un moment donné, il y a eu échange entre les deux points d’intersection de l’orbite du satellite $\mathrm {A}$ et de l’axe des $x,$ celui qui est à droite passant à gauche et inversement. Rien dans l’allure des courbes construites par M. Darwin n’autorise une semblable supposition.

Donc, je conclus que les satellites $\mathrm {A}$ instables ne sont pas la continuation analytique des satellites $\mathrm {A}$ stables. Mais alors que sont devenus les satellites $\mathrm {A}$ stables ?