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PROPRIÉTÉS DES SOLUTIONS DU DEUXIÈME GENRE.
période
par rapport à
envisageons les équations canoniques
(2)
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ce sont les équations de la Dynamique avec un seul degré de
liberté ; mais,
dépendant de
elles n’admettent pas l’équation
des forces vives ![{\displaystyle \mathrm {F} =\mathrm {const.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64ba6cbfb2d8647df984ebb050c2e46a1bd6d95e)
Supposons que ces équations (2) admettent une solution périodique
de période
Les exposants caractéristiques nous seront
donnés par l’équation suivante analogue à (1)
(3)
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qui a pour racines
![{\displaystyle e^{\alpha \mathrm {T} }-1,\quad e^{-\alpha \mathrm {T} }-1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb877733876a4fbcddb98769653a72491420aa64)
Ces racines deviennent nulles toutes deux au moment du passage.
Supposons que
dépende d’un certain paramètre
et que,
pour
les deux racines de l’équation (3) soient nulles. Les
fonctions
et
dépendront non seulement de
et de
mais
de
Nous supposerons que
est développable suivant les puissances
de
et que par conséquent
et
sont développables
suivant les puissances de
et
Les solutions périodiques nous seront données par les équations
(4)
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Pour
le déterminant fonctionnel des
par
rapport aux
est nul ; mais en général les quatre dérivées
ne s’annuleront pas à la fois. Supposons par exemple
![{\displaystyle {\frac {d\psi _{1}}{d\beta _{1}}}\gtrless 0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56350fe83414d5fbe636bdebf10c5cef52424641)
on tirera de la première équation (4)
en série développée suivant
les puissances de
et de
et l’on substituera dans la