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PROPRIÉTÉS DES SOLUTIONS DU DEUXIÈME GENRE.
une boucle infiniment peu différente de la boucle et
ayant son point anguleux en soient et deux arcs
de cette boucle.
De et de j’abaisse deux normales et sur
et sur
D’après un théorème bien connu, l’action le long de
depuis le point jusqu’au point sera égale à l’action le long
de depuis le point jusqu’à On aura donc
ou
ou enfin
ce qui est absurde, puisque a été supposé correspondre au
minimum de l’action.
Si l’on supposait
on arriverait à la même absurdité en plaçant à droite de
On doit donc supposer
c’est-à-dire que les deux arcs se raccordent.
Le même raisonnement est applicable au cas du maximum.
Chaque série de boucles contient donc au moins deux trajectoires fermées.
Chacune de ces trajectoires fermées fait fois le tour
de et coupe en points. Pour d’entre eux, l’angle
analogue à est positif et, pour les autres, il est négatif ; et,
en effet, la courbe étant fermée, doit couper autant de
fois dans un sens que dans l’autre.
Donc, cette trajectoire fermée peut être regardée comme une
boucle de manières différentes ; car nous pouvons regarder
l’un quelconque de nos points d’intersection comme le point
anguleux ; pour de ces manières, la boucle ainsi définie appartiendra
à la première série et pour les autres à la seconde.
Parmi les boucles de chaque série, il y en a donc non pas deux,