Or, on constate aisément que, si est égal à 2, 3 ou 4, on pourra se trouver arrêté ainsi dans le calcul des termes des trois premiers ordres qui sont ceux dont nous avons été obligés de tenir compte. Si au contraire on ne sera arrêté que dans le calcul des termes d’ordre supérieur qui n’interviennent pas dans l’analyse précédente.
374.Supposons, par exemple, que tous les foyers soient en pointe ; soit un point quelconque de ce point sera à lui-même son ième foyer. Soit un point situé un peu au delà du point dans la direction où l’on parcourt la trajectoire et les trajectoires voisines de Je pourrai tracer une trajectoire issue du point qui s’écartera très peu de qui fera fois le tour de et viendra finalement aboutir au point et qui aura points d’intersection avec en comptant les points d’intersection et
En effet, le foyer étant en pointe, les trajectoires voisines de viennent toutes recouper au delà du foyer. Nous pourrons donc tracer la trajectoire qui satisfait aux conditions que je viens d’énoncer, pourvu que la distance soit plus petite que Il est clair que la limite supérieure que ne doit pas dépasser la distance dépend de la position de sur mais elle ne s’annule jamais puisqu’il n’y a pas de foyer singulier. Il me suffira alors d’égaler à la plus petite valeur que puisse prendre cette limite supérieure et je pourrai regarder comme une constante.
Si donc la distance est plus petite que nous pouvons mener une trajectoire satisfaisant à nos conditions ; nous pouvons même en mener deux, l’une coupant en sous un angle positif, l’autre sous un angle négatif.
Cela posé, supposons que nos équations différentielles canoniques dépendent d’un paramètre pour la trajectoire fermée a pour exposant caractéristique Supposons que, pour l’exposant caractéristique, divisé par soit plus grand que et que, pour il soit au contraire plus petit que
Alors, pour le point ne sera plus son propre ième foyer ; son ième foyer sera situé en deçà de pour et au delà
