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CHAPITRE XXXI.
numéro précédent et qu’il ne faut pas confondre avec l’exposant
que je désigne par la même lettre dans le présent numéro.
Si nous poussons l’approximation jusqu’au troisième ordre
inclusivement par rapport à
et
se réduira à un
polynôme du troisième ordre par rapport à ces deux constantes
et je pourrai écrire
![{\displaystyle \psi (\omega )=\mathrm {A} e^{\alpha \omega }\sigma +\mathrm {A} 'e^{-\alpha \omega }\sigma '+f(\mathrm {A} e^{\alpha \omega },\mathrm {A} 'e^{-\alpha \omega })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6d269fbc628afd77834231ca917fd14ebafb2e7)
étant un polynôme entier par rapport à
ne contenant
que des termes du second et du troisième degré. Les
coefficients du polynôme
de même que
et
sont des fonctions
périodiques de période ![{\displaystyle 2\pi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a597bc393cb175d7b44b9bdfdbadc1fb7dc23aa)
Cela posé, comme
est égal à
à des quantités près du second
ordre, et à
à des quantités près du quatrième ordre,
nous pouvons écrire, en négligeant toujours les quantités du
quatrième ordre par rapport à
et
![{\displaystyle \psi (\omega )=\mathrm {A} \sigma e^{\omega (\alpha _{0}+\alpha _{1}\mathrm {AA} ')}+\mathrm {A} '\sigma 'e^{-\omega (\alpha _{0}+\alpha _{1}\mathrm {AA} ')}+f(\mathrm {A} e^{\alpha _{0}\omega },\mathrm {A} 'e^{-\alpha _{0}\omega })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09ecb2bf1ff7eba153d4a031e55c09e9d75700f9)
ou bien encore
![{\displaystyle {\begin{aligned}\psi (\omega )&=\mathrm {A} e^{\alpha _{0}\omega }\sigma -\mathrm {A} 'e^{-\alpha _{0}\omega }\sigma '\\&+\alpha _{1}\omega \mathrm {AA} '(\mathrm {A} e^{\alpha _{0}\omega }\sigma -\mathrm {A} 'e^{-\alpha _{0}\omega }\sigma ')+f(\mathrm {A} e^{\alpha _{0}\omega },\mathrm {A} 'e^{-\alpha _{0}\omega })\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1ed3edc708ca22c38294e1c09e0bb37fcf8ae44)
Quand
augmente de
les coefficients de
non
plus que
et
ne changent pas. Il en est de même de
puisque
a pour dénominateur
il en est donc encore
de même de
![{\displaystyle \mathrm {A} e^{\alpha _{0}\omega }\sigma ,\quad \mathrm {A} 'e^{-\alpha _{0}\omega }\sigma ',\quad f(\mathrm {A} e^{\alpha _{0}\omega },\mathrm {A} 'e^{-\alpha _{0}\omega }).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf2045e8c56755ee20853c37201ba0bc5b464638)
Il vient donc enfin
![{\displaystyle \psi (\omega +2k\pi +4\pi )-\psi (\omega )=(2k+2)\pi \alpha _{1}\mathrm {AA} '(\mathrm {A} e^{\alpha _{0}\omega }\sigma -\mathrm {A} 'e^{-\alpha _{0}\omega }\sigma ').}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7e6e4b1a59b39ec6e0cc4ea57794dce06b9c542)
Or
est nulle ; la quantité dont nous devons déterminer
le signe est donc
![{\displaystyle (2k+2)\pi \alpha _{1}\mathrm {AA} '(\mathrm {A} e^{\alpha _{0}\omega }\sigma _{0}-\mathrm {A} 'e^{-\alpha _{0}\omega }\sigma _{0}').}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2307d544dab82717d59f49c610cb98ccb401bd43)
Je désigne par
et
les valeurs de
et
pour