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CHAPITRE XXXI.

numéro précédent et qu’il ne faut pas confondre avec l’exposant que je désigne par la même lettre dans le présent numéro.

Si nous poussons l’approximation jusqu’au troisième ordre inclusivement par rapport à $\mathrm {A}$ et $\mathrm {A} ',$ $\psi (\omega )$ se réduira à un polynôme du troisième ordre par rapport à ces deux constantes et je pourrai écrire

$\psi (\omega )=\mathrm {A} e^{\alpha \omega }\sigma +\mathrm {A} 'e^{-\alpha \omega }\sigma '+f(\mathrm {A} e^{\alpha \omega },\mathrm {A} 'e^{-\alpha \omega })$

$f$ étant un polynôme entier par rapport à $\mathrm {A} e^{\alpha \omega },$ $\mathrm {A} 'e^{-\alpha \omega }$ ne contenant que des termes du second et du troisième degré. Les coefficients du polynôme $f,$ de même que $\sigma$ et $\sigma ',$ sont des fonctions périodiques de période $2\pi .$

Cela posé, comme $\alpha$ est égal à $\alpha _{0},$ à des quantités près du second ordre, et à $\alpha _{0}+\alpha _{1}(\mathrm {AA} ')$ à des quantités près du quatrième ordre, nous pouvons écrire, en négligeant toujours les quantités du quatrième ordre par rapport à $\mathrm {A}$ et $\mathrm {A} ',$

$\psi (\omega )=\mathrm {A} \sigma e^{\omega (\alpha _{0}+\alpha _{1}\mathrm {AA} ')}+\mathrm {A} '\sigma 'e^{-\omega (\alpha _{0}+\alpha _{1}\mathrm {AA} ')}+f(\mathrm {A} e^{\alpha _{0}\omega },\mathrm {A} 'e^{-\alpha _{0}\omega })$

ou bien encore

${\begin{aligned}\psi (\omega )&=\mathrm {A} e^{\alpha _{0}\omega }\sigma -\mathrm {A} 'e^{-\alpha _{0}\omega }\sigma '\\&+\alpha _{1}\omega \mathrm {AA} '(\mathrm {A} e^{\alpha _{0}\omega }\sigma -\mathrm {A} 'e^{-\alpha _{0}\omega }\sigma ')+f(\mathrm {A} e^{\alpha _{0}\omega },\mathrm {A} 'e^{-\alpha _{0}\omega })\end{aligned}}$

Quand $\omega$ augmente de $(2k+4)\pi ,$ les coefficients de $f,$ non plus que $\sigma$ et $\sigma '$ ne changent pas. Il en est de même de $e^{\alpha _{0}\omega },$ puisque ${\frac {\alpha _{0}}{i}}=n$ a pour dénominateur $k+2\,;$ il en est donc encore de même de

$\mathrm {A} e^{\alpha _{0}\omega }\sigma ,\quad \mathrm {A} 'e^{-\alpha _{0}\omega }\sigma ',\quad f(\mathrm {A} e^{\alpha _{0}\omega },\mathrm {A} 'e^{-\alpha _{0}\omega }).$

Il vient donc enfin

$\psi (\omega +2k\pi +4\pi )-\psi (\omega )=(2k+2)\pi \alpha _{1}\mathrm {AA} '(\mathrm {A} e^{\alpha _{0}\omega }\sigma -\mathrm {A} 'e^{-\alpha _{0}\omega }\sigma ').$

Or $\psi (\omega _{0})$ est nulle ; la quantité dont nous devons déterminer le signe est donc

$(2k+2)\pi \alpha _{1}\mathrm {AA} '(\mathrm {A} e^{\alpha _{0}\omega }\sigma _{0}-\mathrm {A} 'e^{-\alpha _{0}\omega }\sigma _{0}').$

Je désigne par $\sigma _{0}$ et $\sigma _{0}'$ les valeurs de $\sigma$ et $\sigma '$ pour $\omega =\omega _{0}.$