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CHAPITRE XXX.
drons une série de solutions périodiques ; pour ces solutions
![{\displaystyle \cos y_{1},\quad \sin y_{1}\;\;\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abaf6aaf188689bc9bdc7543ac63567ea71d36bc)
et
![{\displaystyle \;\;\;{\frac {x_{1}}{\sqrt {\overset {}{\mu }}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba22b24a7fad1377de4f7ab99104094fa1539336)
peuvent se développer en séries de Fourier suivant les sinus et les
cosinus des multiples de
étant le plus petit commun multiple
de
et de
Un coefficient quelconque du développement
est fonction de
et c’est cette fonction que je voudrais étudier.
Pour cela, il faut d’abord étudier la relation entre
et
Nous pouvons faire varier
depuis
jusqu’à
Pour
on a
![{\displaystyle \omega {\sqrt {\overset {}{\mu }}}={\frac {\pi }{\sqrt {2}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ce85acbdf5aecb11c5c3373f75cd4a7399af8d8)
Pour
on a
donc, quand
varie depuis
jusqu’à
augmente de
à
Il n’existe donc de solution périodique correspondant à une
valeur de
donnée, commensurable avec
que si
![{\displaystyle {\sqrt {\overset {}{\mu }}}>{\frac {\pi }{\omega {\sqrt {2}}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6887c1034ed45864ccdfa78cca870ff7b8c5e0d1)
Les coefficients du développement de Fourier sont donc des fonctions
de
qui sont réelles pour
![{\displaystyle {\sqrt {\overset {}{\mu }}}>{\frac {\pi }{\omega {\sqrt {2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1c5a8327937605c069d564c0f84bcc1b664ca4d)
et imaginaires pour
![{\displaystyle {\sqrt {\overset {}{\mu }}}>{\frac {\pi }{\omega {\sqrt {2}}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6887c1034ed45864ccdfa78cca870ff7b8c5e0d1)
Il est évident que le même raisonnement conduirait au même
résultat si, au lieu de
![{\displaystyle \mathrm {F} =x_{2}+x_{1}^{2}+\mu \cos y_{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdbfc0b515ccd1aef8c6f886b4d11b8558bdc21f)
on avait eu
![{\displaystyle \mathrm {F} =\mathrm {F} _{0}+\mu [\mathrm {F} 1],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b25f5fad2e0b82c7b6609480fd29a06ba324d2fe)
dépendant de
et
seulement,
de
et
seule-