Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 3, 1899.djvu/33

21

INVARIANTS INTÉGRAUX.

$p$ intégrales des équations (1), et

$\int \mathrm {F} _{1}(dx_{i}\,dx_{k}),\quad \int \mathrm {F} _{2}(dx_{i}\,dx_{k}),\quad \ldots ,\quad \int \mathrm {F} _{n}(dx_{i}\,dx_{k}),$

$q$ invariants intégraux du second ordre. Les $\mathrm {F}$ seront des fonctions des $x_{i}$ et des produits de différentielles

$dx_{i}\,dx_{k}.$

Elles seront homogènes et du premier ordre par rapport à ces produits.

Alors

$\mathrm {F} _{l}(\xi _{i}\xi _{k}'-\xi _{k}\xi _{i}')$

seront des intégrales du système (6).

Si alors

$\Theta \left[\Phi _{\mu },\mathrm {F} _{l}\right]$

est une fonction quelconque des $\Phi$ et des $\mathrm {F} ,$ homogène du premier ordre par rapport aux $\mathrm {F} ,$ l’expression

$\Theta \left[\Phi _{k},\mathrm {F} _{l}(\xi _{i}\xi _{k}'-\xi _{k}\xi _{i}')\right]$

sera une intégrale des équations (6) ; elle sera de plus homogène et du premier ordre par rapport aux déterminants

$\xi _{k}\xi _{i}'-\xi _{k}'\xi _{i}.$

Il en résulte que l’intégrale double

$\int \Theta \left[\Phi _{\mu },\mathrm {F} _{l}(dx_{i}\,dx_{k})\right]$

sera un invariant intégral du second ordre des équations (1).

247.Nous avons ainsi le moyen, connaissant plusieurs invariants du même ordre, de les combiner de façon à obtenir d’autres invariants du même ordre.

Le même procédé permet, connaissant plusieurs invariants du même ordre, d’obtenir de nouveaux invariants d’ordre différent.

Soient, par exemple,

$\int \mathrm {F} _{1}(dx_{i}),\quad \int \mathrm {F} _{2}(dx_{i}),$