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FORMATION DES SOLUTIONS DU DEUXIÈME GENRE.

$\varpi _{1}$ et $\varpi _{2}\,;$ mais $\varpi$ et $\varpi _{1}$ auront été préalablement déterminés par des relations de même forme que (13). Donc (13) déterminera $\varpi _{2}$ et par conséquent $\gamma _{2}'.$ Et ainsi de suite.

Discussion.

364.Dans la solution à laquelle nous sommes parvenus figurent encore les constantes arbitraires suivantes

$\varepsilon ,\quad \xi _{0},\quad u_{0}.$

Quant aux paramètres $\lambda$ et $\mu ,$ ils nous sont donnés par leurs développements suivant les puissances croissantes de $\varepsilon ,$ développements dont nous avons calculé successivement les coefficients. Ces coefficients $\lambda _{k}$ et $\mu _{k}$ dépendent des deux constantes $\xi _{0}$ et $u_{0}\,;$ ces coefficients ont été calculés à l’aide des équations

$\left[{\frac {d\Theta _{k}}{d\xi _{0}}}\right]+\lambda _{k}\mathrm {H} _{0}=\left[{\frac {d\Theta _{k}}{du_{0}}}\right]+2\mu _{k}\mathrm {B} _{0}=0.$

$\Theta _{k},\,{\frac {d\Theta _{k}}{d\xi _{0}}}$ et $u_{0}{\frac {d\Theta _{k}}{du_{0}}}$ sont des polynôme entiers en

$\xi _{0},\,{\sqrt {{\overset {}{u}}_{0}}}\,e^{\pm i(nt+\varpi )}.$

Soit

$\Theta _{k}=\sum \mathrm {P} \xi _{0}'^{h_{1}}\eta _{0}'^{h_{2}}\xi _{0}^{h_{3}}=\sum \mathrm {Q} ,$

où $\mathrm {P}$ est un polynôme entier par rapport à

(18)

$\xi _{1},\quad \xi _{2},\quad \ldots ,\quad \xi _{1}',\quad \xi _{2}',\quad \ldots ,\quad \eta _{1}',\quad \eta _{2}',\quad \ldots$

dont les coefficients sont des fonctions périodiques de $\eta _{0}.$

Il vient alors

${\begin{aligned}\xi _{0}\,{\frac {d\Theta _{k}}{d\xi _{0}}}&=\sum h_{3}\mathrm {Q} ,&u_{0}\,{\frac {d\Theta _{k}}{du_{0}}}&=\sum \left({\frac {h_{1}+h_{2}}{2}}\right)\mathrm {Q} .\end{aligned}}$

Remplaçons ensuite les quantités (18) par leurs développements et soit

$\mathrm {P} =\sum \mathrm {B} \,\xi _{0}'^{b_{1}}\eta _{0}'^{b_{2}}\xi _{0}^{b_{3}},$

$\mathrm {B}$ étant une fonction périodique de $t$ de période $2\pi \,;$ d’où

$\Theta _{k}=\sum \mathrm {B} \xi _{0}'^{b_{1}+h_{1}}\eta _{0}'^{b_{2}+h_{2}}\xi _{0}^{b_{3}+h_{3}}=\sum \mathrm {R} ,$ ${\begin{aligned}\xi _{0}\,{\frac {d\Theta _{k}}{d\xi _{0}}}&=\sum h_{3}\mathrm {R} ,&u_{0}\,{\frac {d\Theta _{k}}{du_{0}}}&=\sum {\frac {h_{1}+h_{2}}{2}}\mathrm {R} .\end{aligned}}$