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FORMATION DES SOLUTIONS DU DEUXIÈME GENRE.

Ainsi, nous voyons que $\xi _{1},\,\eta _{1},$ $\xi _{1}',\,\eta _{1}'$ sont des fonctions périodiques de $t$ et de $\varpi .$ Ils seront donc développables en séries de Fourier de la forme

$\sum \mathrm {A} e^{i(pt+qnt+q\varpi )}.$

Mais on peut ajouter quelque chose de plus ; nous avons à traiter des équations de la forme suivante

${\begin{aligned}{\frac {d\xi }{dt}}=\mathrm {X} &=\sum \mathrm {A} e^{i(pt+qnt+q\varpi )},&{\frac {d\eta }{dt}}+in\eta =\mathrm {Y} &=\sum \mathrm {B} e^{i(pt+qnt+q\varpi )},\end{aligned}}$

nous en tirerons

${\begin{aligned}\xi &=\sum {\frac {\mathrm {A} }{i(p+qn)}}e^{i(pt+qnt+q\varpi )}+\gamma ,\\\eta &=\sum {\frac {\mathrm {B} }{i(p+qn+n)}}e^{i(pt+qnt+q\varpi )}+\gamma 'e^{-int},\end{aligned}}$

où $\gamma$ et $\gamma '$ sont des constantes d’intégration.

Si donc $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$ sont des polynômes entiers et homogènes par rapport à

${\sqrt {\xi _{0}}},\quad {\sqrt {{\overset {}{u}}_{0}}}\,e^{i(nt+\varpi )},\quad {\sqrt {{\overset {}{u}}_{0}}}\,e^{-i(nt+\varpi )}$

il en sera de même de $\xi$ et de $\eta ,$ au moins si l’on suppose nulles les constantes $\gamma$ et $\gamma '.$ Si l’on ne suppose pas ces constantes nulles, $\xi$ et $\eta$ seront encore des polynômes entiers, mais non homogènes.

Appliquons ces principes aux quantités que nous venons de calculer ; nous voyons que

${\frac {d\Theta _{1}}{d\xi _{0}}},\quad {\frac {d\Theta _{1}}{d\eta _{0}}},\quad {\frac {d\Theta _{1}}{d\xi _{0}'}},\quad {\frac {d\Theta _{1}}{d\eta _{0}'}}$

étant des polynômes, qui, d’après les conventions que nous avons faites sur les degrés, sont respectivement de degrés

$1,\quad 3,\quad 2,\quad 2,$

il en sera donc de même de

$\eta _{1},\quad \xi _{1},\quad \eta _{1}',\quad \xi _{1}'.$

Quand on aura substitué dans $\Theta _{2}$ à la place de ces quantités leurs valeurs qui sont respectivement des degrés 1, 3, 2, 2, on