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DIVERSES FORMES DU PRINCIPE DE MOINDRE ACTION.
Si l’on avait au contraire supposé
aurait trouvé
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {F} }{dx}}+2\omega \,{\frac {dy}{ds}}={\frac {d\mathrm {F} }{ds}}{\frac {dx}{ds}}+\mathrm {F} {\frac {d^{2}x}{ds^{2}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b02b7275ff6017b90e1ca01e5c23244c7179e637)
Ces deux équations sont équivalentes, comme il était aisé de le
prévoir, et, en effet, si on les ajoute après les avoir respectivement
multipliées par
et
et si l’on tient compte des relations
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {dx}{ds}}\right)^{2}\!+\left({\frac {dy}{ds}}\right)^{2}\!&=1\,;&{\frac {dx}{ds}}{\frac {d^{2}x}{ds^{2}}}+{\frac {dy}{ds}}{\frac {d^{2}y}{ds^{2}}}&=0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9625db9dfd66eb90bbd6abc5114827375b13a010)
on arrive à une identité.
Si donc nous envisageons les courbes (1), elles satisferont à
l’équation (6). Si l’on tient compte de cette équation, la relation (4) devient
![{\displaystyle \delta \mathrm {J} '=\left[\mathrm {F} {\frac {dx\,\delta x+dy\,\delta y}{ds}}+\omega \,(x\,\delta y-y\,\delta x)\right]_{0}^{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d9010fe99e0a7b5adc0d66193f0e35cac5ea2fb)
Soient
une suite continue d’arcs appartenant
aux courbes (1) et dont les extrémités
forment deux courbes continues
et ![{\displaystyle \mathrm {C} '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21593b547038719ef4c6ac4d72edd25a0364de09)
Soient
deux de ces arcs infiniment peu différents
l’un de l’autre. Soient
les coordonnées du point
celles du point infiniment voisin
Soient
l’action relative à l’arc
et
l’action relative
à l’arc
Si
est l’angle que fait avec l’axe des
la tangente à la
courbe
qui est une courbe (1), et si les deux courbes
et
satisfont à l’équation différentielle
(7)
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on aura
![{\displaystyle \delta \mathrm {J} '=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cc761919ea2d91da17567ec00641137d2b7f5d0)
et, par conséquent,
![{\displaystyle (\mathrm {A} _{1}\mathrm {B} _{1})=(\mathrm {A} _{2}\mathrm {B} _{2})=\ldots =(\mathrm {A} _{n}\mathrm {B} _{n}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c77a98830a4443d09b45a35d24bca26ba97f8370)
Les courbes définies par l’équation (7) peuvent donc jouer le rôle
que jouaient dans le numéro précédent, les trajectoires orthogonales
des courbes (1).