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DIVERSES FORMES DU PRINCIPE DE MOINDRE ACTION.

deux solutions

${\begin{aligned}\zeta &=e^{\alpha t}\mathrm {G} (t),&\zeta &=e^{-\alpha t}\mathrm {G} _{1}(t)\end{aligned}}$

ne pourraient différer que par un facteur constant (puisqu’elles satisfont à une même équation différentielle du second ordre) et cela est absurde.

351. Un point sur lequel je veux attirer l’attention, c’est que les solutions instables de la première et de la deuxième catégorie forment deux ensembles séparés de telle façon qu’on ne peut passer de l’une à l’autre d’une manière continue sans passer par l’intermédiaire des solutions stables.

Bornons-nous d’abord au cas particulier du numéro précédent et reprenons l’équation

(2)

${\frac {d^{2}\zeta }{dt^{2}}}=\zeta \left(\varphi -3\right).$

Faisons varier la fonction $\varphi$ d’une manière continue et voyons si l’on pourra passer immédiatement d’une solution instable de la première catégorie à une solution instable de la deuxième catégorie. Pour cela, il faut que la fonction $\mathrm {G}$ qui est réelle soit d’abord incapable de s’annuler et ensuite susceptible de s’annuler. On passerait donc du cas où l’équation $\mathrm {G} =0$ a toutes ses racines imaginaires au cas où elle a des racines réelles. Au moment du passage, elle aurait une racine double ou plus généralement multiple d’ordre $2m.$

Ce zéro, qui serait d’ordre $2m$ pour $\mathrm {G} ,$ serait d’ordre $2m-1$ pour ${\frac {d\mathrm {G} }{dt}},$ d’ordre $2m-2$ pour ${\frac {d^{2}\mathrm {G} }{dt^{2}}},$ de sorte que l’expression

${\frac {{\dfrac {d^{2}\mathrm {G} }{dt^{2}}}+2\alpha \,{\dfrac {d\mathrm {G} }{dt}}+\alpha ^{2}\mathrm {G} }{\mathrm {G} }}$

deviendrait infinie, ce qui est impossible, puisqu’elle est égale à $\varphi -3.$

Au contraire, on peut passer d’une solution stable à une solution instable de l’une ou de l’autre catégorie.

Pour une solution stable, en effet, $\mathrm {G}$ est imaginaire. Au moment où la solution deviendra instable, la partie imaginaire de $\mathrm {G}$