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CHAPITRE XXIX.

de sorte que si $t''$ est, par exemple, compris entre $t_{0}$ et $t_{1},$ la différence

$t_{2n}''-2n\pi$

tendra vers $t_{0}'$ quand $n$ croîtra indéfiniment.

Si $n$ tend vers $-\infty ,$ cette différence tendra vers $t_{0}$ ou vers $t_{1}$ selon que $t''$ sera compris entre $t_{0}$ et $t_{0}'$ ou entre $t_{0}'$ et $t_{1}.$ J’ajouterai que la différence $t_{2n}''-2n\pi$ est, ou constamment croissante, ou constamment décroissante avec $n.$

Les valeurs $t_{0}',\,t_{1}'$ correspondent aux points où

$\xi _{1}\eta _{2}-\xi _{2}\eta _{1}=0\,;$

mais $\xi _{1}\eta _{2}-\xi _{2}\eta _{1}$ est une fonction périodique multipliée par $e^{\alpha t}\,;$ or, une fonction périodique doit dans une période s’annuler un nombre pair de fois.

Par conséquent, la trajectoire fermée $(\mathrm {T} )$ sera partagée par les points $t_{0},$ $t_{1},$ $t_{0}+2\pi$ en un certain nombre d’arcs et ce nombre sera toujours pair.

350.Au point de vue qui nous occupe, les solutions périodiques instables peuvent donc se répartir en deux catégories. Mais on pourrait se demander si ces deux catégories existent réellement. Il convient donc d’en citer des exemples.

Soient $\rho$ et $\omega$ les coordonnées polaires d’un point mobile dans un plan ; les équations du mouvement s’écriront

(1)

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}\rho }{dt^{2}}}&=\left({\frac {d\omega }{dt}}\right)^{2}\rho +{\frac {d\mathrm {U} }{d\rho }},&\rho ^{2}{\frac {d^{2}\omega }{dt^{2}}}+2\rho {\frac {d\rho }{dt}}{\frac {d\omega }{dt}}&={\frac {d\mathrm {U} }{d\omega }}\cdot \end{aligned}}$

Supposons que, pour $\rho =1,$ on ait

${\begin{aligned}\mathrm {U} &=0,&{\frac {d\mathrm {U} }{d\omega }}&=0,&{\frac {d\mathrm {U} }{d\rho }}&=-1,&{\frac {d^{2}\mathrm {U} }{d\rho ^{2}}}&=\varphi (\omega )\,;\end{aligned}}$

les équations (1) admettront pour solutions

$\rho =1,\quad \omega =t$

et cette solution correspondra à une trajectoire fermée qui sera une circonférence.