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DIVERSES FORMES DU PRINCIPE DE MOINDRE ACTION.

2^o Ou bien $\zeta (t)$ peut s’annuler pour $t=t_{0}\,;$ il s’annulera alors aussi pour $t=t_{0}+2\pi ,$ et comme il ne peut avoir ni maximum, ni minimum, il faut qu’il devienne infini dans l’intervalle. De même, si $\zeta (t)$ peut devenir infini, il faut aussi qu’il puisse s’annuler.

Supposons donc, pour fixer les idées, que $\zeta (t)$ devienne infini pour

$t=t_{0},\quad t_{1},\quad t_{0}+2\pi$

et pour les valeurs qui en diffèrent d’un multiple de $2\pi$ et s’annule pour

$t=t_{0}',\quad t_{1}',\quad t_{0}'+2\pi .$

Je suppose d’ailleurs

$t_{0}<t_{0}'<t_{0}<t_{1}'<t_{0}+2\pi .$

D’ailleurs, quand $t$ croît de $t_{0}$ à $t_{1},$ ou de $t_{1}$ à $t_{2},$ ou de $t_{2}$ à $t_{0}+2\pi ,$ $\zeta (t)$ croît constamment de $-\infty$ à $+\infty .$

La trajectoire fermée $(\mathrm {T} )$ qui représente notre solution périodique sera donc partagée en deux arcs dont les extrémités correspondront aux valeurs de $t$

$t_{0},\quad t_{1},\quad t_{0}+2\pi .$

Chacun des points de l’un des arcs aura son premier foyer sur l’arc suivant.

J’ajoute que les points qui correspondent aux valeurs de $t$

$t_{0},\quad t_{1},\quad t_{0}',\quad t_{1}'$

coïncident avec leurs deuxièmes foyers.

Soient $t''$ une valeur de $t$ correspondant à un point quelconque de $(\mathrm {T} )$ et $t_{n}''$ la valeur de $t$ qui correspond à son $n$^ième foyer, on aura

$\lim {\frac {t_{n}''-t''}{n}}={\frac {2\pi }{2}}\cdot$

Mais ce n’est pas tout ; on aura

$e^{2\alpha t_{n}''}\mathrm {G} (t_{n}'')=e^{2\alpha t''}\mathrm {G} (t'').$

Si $n$ est très grand et si $\mathrm {G} (t'')$ n’est pas infini, comme $t_{n}''-t''$ est très grand et que nous supposons $\alpha$ positif, $\mathrm {G} (t_{n}'')$ sera très petit,