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DIVERSES FORMES DU PRINCIPE DE MOINDRE ACTION.
2o Ou bien peut s’annuler pour il s’annulera alors
aussi pour et comme il ne peut avoir ni maximum,
ni minimum, il faut qu’il devienne infini dans l’intervalle. De
même, si peut devenir infini, il faut aussi qu’il puisse s’annuler.
Supposons donc, pour fixer les idées, que devienne infini
pour
et pour les valeurs qui en diffèrent d’un multiple de et s’annule
pour
Je suppose d’ailleurs
D’ailleurs, quand croît de à ou de à ou de à
croît constamment de à
La trajectoire fermée qui représente notre solution périodique
sera donc partagée en deux arcs dont les extrémités correspondront
aux valeurs de
Chacun des points de l’un des arcs aura son premier foyer sur
l’arc suivant.
J’ajoute que les points qui correspondent aux valeurs de
coïncident avec leurs deuxièmes foyers.
Soient une valeur de correspondant à un point quelconque
de et la valeur de qui correspond à son ième
foyer, on aura
Mais ce n’est pas tout ; on aura
Si est très grand et si n’est pas infini, comme est
très grand et que nous supposons positif, sera très petit,